Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.1 Polynominterpolation
und F ∈ C n+1 [a, b] mit
n∏
F (t) := f(t) − p n (t) − K(x) (t − x j ).
j=0
K(x) sei so bestimmt, so dass F (x) = 0. Dies ist möglich, da
n∏
(t − x j ) ≠ 0 ⇒ K(x) = f(t) − p n(t)
∏ nj=0
(t − x
j=0
j ) .
Dann besitzt F (t) in [a, b] mindestens n+2 verschiedene Nullstellen x 0 , x 1 , . . . , x n , x. Durch
wiederholte Anwendung des Satzes von Rolle hat die Ableitung F (n+1) mindestens eine
Nullstelle ξ ∈ (a, b). Mit
0 = F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) − p (n+1) (ξ) − K(x)(n + 1)! = f (n+1) (ξ) − 0 − K(x)(n + 1)!.
Hieraus folgt die Behauptung mittels
K(x) = f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
⇒
f(x) − p n (x) = f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
n∏
(x − x j )
j=0
Satz 3.12 (Interpolationsfehler mit Integral-Restglied). Es sei f ∈ C n+1 [a, b]. Dann gilt
für x ∈ [a, b] \ {x 0 , . . . , x n } die Darstellung
n∏
f(x) − p(x) = f[x 0 , . . . , x n , x] (x − x j ),
j=0
mit den Interpolationsbedingungen f[x i , . . . , x i+k ] := y[x i , . . . , x i+k ] und
f[x 0 , . . . , x n , x] =
∫ 1 ∫ t1
0
0
· · ·
Beweis: Wird folgen.
∫ tn
0
f (n+1)( x 0 + t 1 (x 1 − x 0 ) + . . . + t(x − x n ) ) dt . . . dt 2 dt 1 .
Für den Fehler der Lagrange-Interpolation können die folgenden Betrachtungen geführt
werden. In (3.4) wird für großes n der Term 1
(n+1)!
sehr klein. Das Produkt ∏ n
j=0 (x − x j )
wird klein, wenn die Stützstellen sehr dicht beieinander liegen. Sind alle Ableitungen von
f gleichmäßig (bzgl. der Ableitungsstufe) beschränkt auf [a, b], so gilt mit (3.5), dass
max |f(x) − p(x)| → 0, n → ∞.
a≤x≤b
Haben die Ableitungen der zu interpolierenden Funktion jedoch ein zu starkes Wachstumverhalten
für n → ∞, z.B.
f(x) = (1 + x 2 ) −1 , |f n (x)| ≈ 2 n n!O(|x| −2−n ),
so konvergiert die Interpolation nicht gleichmäßig auf [a, b].
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