Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6.2 Diskretisierung
ρ
ρ
y
e
e + δe
α + δα
ρ(x + δx)
δα
ρ(x)
y
e
e
δy
ds
δx
α
Abbildung 6.2: Links: Krümmungsradius ρ als Radius desjenigen Kreises mit der gleichen
Krümmung. Mitte: Herleitung der Dehnung ɛ := δe/e als relative Längenänderung
einer um radial verschobenen Linie. Rechts: Herleitung der
Beziehung zwischen Deformation y(x) und Krümmungsradius ρ(x).
Hiermit können wir δα/δx mit Hilfe der 2. Ableitung ersetzen und mit y ′ := ∂ x y sowie
mit y ′′ := ∂ xx y gilt für die Krümmung
∆α
κ := lim
∆s→0 ∆s = δα
δs = δα/δx
δs/δx =
y ′′ (x)
√
1 + y ′ (x) 23 .
und mit dem Zusammenhang zum Krümmungsradius κ := 1 ρ
und dem Materialgesetz 6.2
erhalten wir die (nicht-lineare) Differentialgleichung für die Deformation eines die Balkens:
y ′′ (x)
(1 + y ′ (x) 2 ) 3 2
= µf. (6.3)
Für sehr kleine Auslenkungen (dann gilt y ′ (x) ≪ 1) erhalten wir hieraus die linearisierte
Variante:
y ′′ (x) = µf (6.4)
die in vielen Büchern als Laplace-Gleichung (Modellgleichung) bekannt ist.
6.2 Diskretisierung
Wir suchen also eine Funktion y ∈ C 2 ([0, 1]), welche die Differentialgleichung (6.3) in jedem
Punkt x ∈ [0, 1] erfüllt. Diese Differentialgleichung ist für gegebene Kraftverteilung f im
Allgemeinen nicht analytisch lösbar und muss mit numerischen Verfahren approximiert
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