Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
gegebene Matrix die sogenannte Hilbert-Matrix
⎛ 1
1
2
1 1
2 3
1 1
H n =
3 4
1 1
4 5
⎜
⎝ .
1 1
n n+1
1
3
1
4
1
5
1
1
4
. . .
n
1
1
5
. . .
. .. 1
. .. . .. .
1
n+2
n+1
n+2
⎟
⎠
. .. .
1
1
n+3
. . .
2n−1
Das Lösen eines Gleichungssystems mit der Hilbert-Matrix ist äußerst schwer. Dies liegt
an der Konditionszahl der Hilbertmatrix, welche angibt, wie sich Rundungsfehler beim
Lösungsprozess verstärken. Schon für n = 4 liegt die Fehlerverstärkung der Hilbert-Matrix
bei 15 000. Diese Matrix muss also unbedingt vermieden werden.
Auch wenn die Wahl der Basisvektoren {φ 1 , . . . , φ n } keinen Einfluss auf das Ergebnis hat,
so bestimmt sie doch wesentlich den Aufwand bei der Realisierung. Angenommen, die
Basis sei ein Orthonormalsystem, d.h. es gelte (φ i , φ j ) = δ ij für alle i, j = 1, . . . , n. Dann
gilt für die Systemmatrix in (3.19)
a ij = (φ i , φ j ) = δ ij ⇒ A = I.
Die Systemmatrix ist die Einheitsmatrix und die gesuchten Koeffizienten lassen sich sofort
ablesen
α i = (f, φ i ),
womit die Bestapproximation durch die Relation
n∑
p = (f, φ i )φ i ,
i=1
trivial gegeben ist. Für dieses vereinfachte Vorgehen benötigen wir zunächst eine Orthonormalbasis
von S ⊂ H. Die Orthonormalisierung kann mit Hilfe des bereits diskutieren
Gram-Schmidt-Algorithmus durchgeführt werden. Bei Verwendung der Monombasis des
S = P n führt dieser Algorithmus auf die Legendre-Polynome. Wir fassen zusammen:
⎞
.
Korollar 3.80 (Gauss-Approximation mit Polynomen). Es sei f ∈ C[−1, 1]. Die Bestapproximation
p ∈ P n bezüglich der L 2 -Norm im Raum der Polynome von Grad n eindeutig
bestimmt durch:
n∑ 1
p(x) =
‖L i ‖ 2 (L i , f)L i (x),
L 2 [−1,1]
mit den Legendre-Polynomen
i=0
d i
L i (x) := 1
2 i i! dx i (x2 − 1) i .
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