Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6.2 Diskretisierung
6.2.1 Diskretes Modell mit globaler Interpolation
Zum Aufstellen des diskreten Gleichungssystems müssen die Ableitungen von y n′ (x) und
y n′′ (x) in den Gitterpunkten x i berechnet werden:
n∑
n∑
y n′ (x i ) = y k ∂ x L (n)
k (x i)
} {{ }
, y n′′ (x i ) = y k ∂ xx L (n)
k (x i) .
} {{ }
k=0
k=0
=:a (1) (i,k,n)
=:a (2) (i,k,n)
Die Koeffizienten a (k) (i, k, n), also die k-te Ableitung der k-ten Lagrange-Basisfunktion
im Punkt x i , müssen für jede Kombination von i, k und n berechnet werden. Für kleine
Indizes kann diese Berechnung einfach analytisch geschehen. Für große Indizes muss diese
Berechnung numerisch, z.B. mit der Newton’schen Darstellung aus Abschnitt 3.1.2 erfolgen.
Diese Koeffizienten hängen nicht von der diskreten Funktion y n ab, sondern lediglich
vom Ansatzgrad n und der Position der Stützstellen x i . Mit dieser Schreibweise gilt für
das nichtlineare Gleichungssystem:
y 0 = 0,
⎛ (
n∑
n
) ⎞ 3
a (2) ∑
2 2
(i, k, n)y k − µf(x i ) ⎝1 + a (1) (i, k, n)y k
⎠ = 0, i = 1, . . . , n − 1,
k=0
k=0
y n = 0.
(6.8)
Mit dem Koeffizientenvektor y ∈ R n+1 und entsprechender vektorwertiger Funktion F n :
R n+1 → R n+1 schreiben wir kurz
F n (y) = 0.
6.2.2 Diskretes Modell mit stückweiser Interpolation
Wir betrachten nun den stückweisen linearen Ansatz y h (x). Im Gegensatz zur globalen
Interpolation y n (x) dürfen wir diese Ansatzfunktion nicht in die Differentialgleichung (6.3)
einsetzen, da y h (x) in den Stützstellen gar nicht differenzierbar ist!
Stattdessen werden wir zunächst die Ableitungen y ′ (x) und y ′′ (x) in den Stützstellen durch
geeignete Differenzenquotienten approximieren. In Abschnitt 3.3 haben wir für die erste
Ableitung zunächst die einseitigen Differenzenquotienten kennengelernt:
y ′ (x) =
y(x + h) − y(x)
h
+ h 2 y′′ (ξ) + O(h 2 ).
Dieser Differenzenquotient ist von erster Ordnung. D.h., bei Halbierung der Gitterweite
ist eine Halbierung des Fehlers zu erwarten. Für den gewählten Diskretisierungsansatz
mit stückweise linearen Funktionen ist diese erste Ordnung nicht optimal. Denn Abschätzung
(6.7) besagt, dass sich der Interpolationsfehler zwischen y h und y quadratisch in h
verhält. Zur besseren Balancierung wählen wir den zentralen Differenzenquotienten:
y ′ (x) =
y(x + h) − y(x − h)
2h
+ h2
6 y′′′ (ξ) + O(h 4 ).
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