Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

1 Einleitung
Computer speichern Zahlen gerundet in Binärdarstellung, also zur Basis 2:
n 2 ∑
rd(x) = ± a i 2 i , a i ∈ {0, 1}.
i=−n 1
Die Genauigkeit der Darstellung, somit der Rundungsfehler hängt von der Anzahl der
Ziffern, also von n 1 und n 2 ab. Die Fixkommadarstellung der Zahl im Binärsystem lautet:
rd(x) = [a n2 a n2 −1 . . . a 1 a 0 .a −1 a −2 . . . a −n1 ] 2
Praktischer ist die Gleitkommadarstellung von Zahlen. Hierzu wird die Binärdarstellung
normiert und ein gemeinsamer Exponent eingeführt:
⎛
⎞
0∑
rd(x) = ± ⎝ a i+n2 2 i ⎠ 2 n 2
, a i ∈ {0, 1}.
i=−n 1 −n 2
Der führende Term (die a i ) heißt die Mantisse und wird von uns mit M bezeichnet, den
Exponenten bezeichnen wir mit E. Der Exponent kann dabei eine positive oder negative
Zahl sein. Zur Vereinfachung wird der Exponenten E als E = e − b, mit einer positiven
Zahl e ∈ N und dem Bias b ∈ N geschrieben. Der Biaswert b wird in einer konkreten
Zahldarstellung fest gewählt. Der variable Exponentanteil e wird selbst im Binärformat
gespeichert. Es bleibt, die Anzahl der Binärstellen für Mantisse und Exponent zu wählen.
Hinzu kommt ein Bit für das Vorzeichen S ∈ {+, −}. Die Gleitkommadarstellung im
Binärsystem lautet:
rd(x) = S · [m 0 .m −1 m −2 . . . m −#m ] 2 · 2 [e #e...e 1 e 0 ] 2 −b
Die Mantisse wird üblicherweise mit m 0 = 1 normiert zu M ∈ [1, 2). D.h., die führende
Stelle muss nicht explizit gespeichert werden.
Auf modernen Computern hat sich das IEEE 754 -Format zum Speichern von Zahlen
etabliert:
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