Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

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4 Numerische Lineare Algebra nur die i-te und j-te Zeile von A, bzw. von x: ⎛ ⎞ a 11 · · · a 1n . . .. . a i−1,1 · · · a i−1,n ca i1 − sa j1 · · · ca in − sa jn a i+1,1 · · · a i+1,n G(i, j)A = . . .. . . a j−1,1 · · · a j−1,n sa i1 + ca j1 · · · sa in + ca jn a j+1,1 · · · a j+1,n ⎜ ⎝ . . .. ⎟ . ⎠ a n1 · · · a nn Die QR-Zerlegung auf der Basis von Givens-Rotationen transformiert die Matrix A wieder schrittweise in eine obere rechte Dreiecksmatrix R. Durch Anwenden einer Givens-Rotation kann jedoch nur ein einzelnes Unterdiagonalelement eliminiert werden und nicht eine ganze Spalte: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎜ ⎟ ⎝∗ ∗ ∗ ∗⎠ → 0 ∗ ∗ ∗ ⎜ ⎟ ⎝∗ ∗ ∗ ∗⎠ → 0 ∗ ∗ ∗ ⎜ ⎟ ⎝0 ∗ ∗ ∗⎠ → 0 ∗ ∗ ∗ ⎜ ⎟ ⎝0 ∗ ∗ ∗⎠ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ → ⎜ ⎟ ⎝0 0 ∗ ∗⎠ → · · · → 0 ∗ ∗ ∗ ⎜ ⎟ ⎝0 0 ∗ ∗⎠ . 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ Wir betrachten einen Schritt des Verfahrens. Dazu sei die Matrix A gegeben in der Form: ⎛ ⎞ a 11 · · · · · · · · · · · · a 1n . 0 .. . .. . . . .. aii . . 0 a i+1,i+1 . A = . . . . . 0 . . . . a ji . .. . ⎜ ⎟ ⎝ . . . . ⎠ 0 · · · a ni a n,i+1 · · · a nn . Wir suchen die Givens-Rotation G(i, j, θ) zur Elimination von a ji . Für GA gilt: (G(i, j, θ)A) ji = sa ii + ca ji , c := cos(θ), s := sin(θ). 156
4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung Anstelle den Winkel θ zu finden bestimmen wir gleich die Werte c und s mit dem Ansatz sa ii + ca ji = 0, c 2 + s 2 = 1 ⇒ c := a ii √ a 2 ii + a2 ji , s := − a ji √ a 2 ii + . a2 ji Anwendung von G(i, j, θ) auf A ergibt: (G(i, j, θ)A) ji = −a jia ii + a ii a ji √ a 2 ii + a2 ji = 0, (G(i, j, θ)A) ii = a2 ii + a2 ji √ a 2 ii + a2 ji = √ a 2 ii + a2 ji . Das Element a ji wird eliminiert. Zur Elimination der i-ten Spalte (unterhalb der Diagonale) sind (n − i − 1) Givens-Rotationen notwendig. Hieraus lässt sich leicht abschätzen, dass der Aufwand zum Erstellen der QR-Zerlegung nach Givens großer ist als der Aufwand bei Verwenden der Householder-Transformationen. Genaue Analyse und effiziente Durchführung führt zu 4n3 3 + O(n 2 ) arithmetische Operationen, also dem doppelten Aufwand verglichen mit der Householder-Methode. Die QR-Zerlegung nach Givens gewinnt aber an Bedeutung, wenn die Matrix A bereits dünn besetzt ist. Nur Unterdiagonalelemente a ji ≠ 0 müssen gezielt eliminiert werden. Bei sogenannten Hessenberg-Matrizen (das sind rechte obere Dreiecksmatrizen, die zusätzlich noch eine linke Nebendiagonale besitzen) kann die QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen in nur O(n 2 ) Operationen durchgeführt werden. Die QR-Zerlegung von Hessenberg-Matrizen spielt die entscheidende Rolle bei dem wichtigsten Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten einer Matrix, siehe Abschnitt 4.6. Beispiel 4.63 (QR-Zerlegung nach Givens). Wie in Beispielen 4.54 und 4.60 sei wieder die folgende Matrix gegeben: ⎛ ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ A := ⎝0.01 0 0.01⎠ 0 0.01 0.01 Wir führen alle Rechnungen mit dreistelliger Genauigkeit durch. Zur Elimination von a 21 = 0.01 ist: c (1) = 1 √ 1 + 0.01 2 ≈ 1, 0.01 s(1) = −√ ≈ −0.01, 1 + 0.01 2 d.h. ⎛ ⎞ 1 0.01 0 G (1) ⎜ ⎟ = ⎝−0.01 1 0⎠ , 0 0 1 ⎛ A (1) = G (1) ⎜ 1 1 1 ⎞ ⎟ A ≈ ⎝0 −0.01 0 ⎠ 0 0.01 0.01 Im zweiten Schritt wählen wir zur Elimination von a (1) 32 = 0.01 c (2) = −0.01 √ 0.01 2 + 0.01 2 ≈ −0.707, s(2) = − 0.01 √ 0.01 2 + 0.01 2 ≈ −0.707, 157
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Inhaltsverzeichnis 4.2 Lösungsmeth
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Literaturverzeichnis iv
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2 Nullstellenbestimmung • Im Sinn
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2 Nullstellenbestimmung Satz 2.11 (
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2 Nullstellenbestimmung 2.4.2 Das N
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2 Nullstellenbestimmung Bestimmung
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2 Nullstellenbestimmung Im Fall von
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2 Nullstellenbestimmung Tabelle 2.3
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2 Nullstellenbestimmung 46
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3 Interpolation und Approximation V
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