Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
3.1.2 Newtonsche Darstellung
Die Newtonsche Darstellung der Lagrangeschen Interpolationsaufgabe löst dieses Problem
durch eine andere Wahl von Basispolynomen:
N 0 (x) := 1,
k−1
∏
N k (x) := (x − x j ), k = 1, . . . , n.
j=0
Das Basispolynom N k (x) hängt nur von den Stützstellen x 0 , . . . , x k ab. Bei Hinzunahme
einer Stützstelle x k+1 müssen die ersten Basispolynome nicht geändert werden. Das
Interpolationspolynom wird nach dem Ansatz
p(x) =
n∑
a k N k (x),
k=0
bestimmt. Für die Stützstelle x k gilt N l (x k ) = 0 für alle l > k. Wir gehen rekursiv vor:
y 0
!
= p(x 0 ) = a 0 ,
y 1
!
= p(x 1 ) = a 0 + a 1 (x 1 − x 0 ),
.
y n
!
= p(x n ) = a 0 + a 1 (x n − x 0 ) + . . . + a n (x n − x 0 ) · · · (x n − x n−1 ).
Im Gegensatz zur vorher kennengelernten Lagrangeschen Darstellung kann ein weiteres
Datenpaar (x n+1 , y n+1 ) leicht hinzugefügt werden. Ist das Interpolationspolynom p n :=
p =∈ P n gegeben, so kann eine Stützstelle x n+1 einfach hinzugenommen werden:
y n+1
!
= p n+1 (x n+1 ) = p n (x n+1 )+a n+1 N n+1 (x n+1 ) ⇒ a n+1 = y n+1 − p n (x n+1 )
. (3.1)
N n+1 (x n+1 )
In der Praxis werden die Koeffizienten a k auf eine numerisch stabilere und effizientere
Weise bestimmt:
Satz 3.8. Das Lagrangesche Interpolationspolynom zu den Punkten (x k , y k ), k = 0, . . . , n
lautet bezüglich der Newtonschen Polynombasis:
p(x) =
n∑
y[x 0 , . . . , x k ]N k (x).
k=0
Die Notation y[x 0 , . . . , x k ] bezeichnet die dividierten Differenzen, welche über die folgende
rekursive Vorschrift definiert sind:
1 f ü r k = 0, . . . , n s e t z e y[x k ] := y k
2 f ü r l = 1, . . . , n und
3 f ü r k = 0, . . . , n − l berechne
4 y[x k , . . . , x k+l ] := y[x k+1,...,x k+l ]−y[x k ,...,x k+l−1 ]
x k+l −x k
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