Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme
Da laut Voraussetzung ‖A −1 δA‖ ≤ ‖A −1 ‖ ‖δA‖ < 1 folgt mit Hilfsatz 4.17:
‖δx‖ ≤ ‖A −1 [I + A −1 δA] −1 δA‖ ‖x‖ ≤
‖A −1 ‖
1 − ‖A −1 ‖δA‖ ‖x‖.
δA‖
Das Ergebnis erhalten wir durch zweimaliges Erweitern mit ‖A‖/‖A‖ sowie mit der Voraussetzung
0 ≤ ‖A −1 δA‖ < 1.
□
Diese beiden Störungssätze können einfach kombiniert werden, um gleichzeitig die Störung
durch rechte Seite und Matrix abschätzen zu können:
Satz 4.19 (Störungssatz für lineare Gleichungssysteme). Es sei x ∈ R n die Lösung des
linearen Gleichungssystems Ax = b mit einer regulären Matrix A ∈ R n×n . Für die Lösung
˜x ∈ R n des gestörten Systems Øx = ˜b mit Störungen δb = ˜b − b und δA = à − A gilt unter
der Voraussetzung
‖δA‖ < 1
‖A −1 ‖
die Abschätzung:
‖δx‖
‖x‖ ≤
(
cond(A) ‖δb‖
1 − cond(A)‖δA‖/‖A‖ ‖b‖ + ‖δA‖ )
,
‖A‖
mit der Konditionszahl
cond(A) = ‖A‖ ‖A −1 ‖.
Beweis: Wir kombinieren die Aussagen von Satz 4.15 und 4.18. Hierzu sei x die Lösung
von Ax = b, ˜x die gestörte Lösung Øx = ˜b und ˆx die Lösung zu gestörter rechter Seite
Aˆx = ˜b. Dann gilt:
‖x − ˜x‖ ≤ ‖x − ˆx‖ + ‖ˆx − ˜x‖ ≤ cond(A) ‖δb‖
‖b‖ +
Die Aussage folgt mit (beachte ‖δA‖ < ‖A −1 ‖ −1 )
cond(A)
1 − cond(A) ‖δA‖
‖A‖
‖δA‖
‖A‖ .
0 ≤ cond(A) ‖δA‖
‖A‖ < ‖A‖ 1
‖A−1 ‖
‖A‖ ‖A −1 ‖ ≤ 1.
Mit diesem Ergebnis kehren wir zum einführenden Beispiel aus Abschnitt 4.2 zurück:
( )
0.988 0.959
A =
0.992 0.963
( )
⇒ A −1 8301 −8267
≈
−8552 8517
□
In der maximalen Zeilensummennorm ‖ · ‖ ∞ gilt:
‖A‖ 1 = 1.955, ‖A −1 ‖ 1 ≈ 17079, cond 1 (A) ≈ 33370.
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