Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Zunächst gilt für die rechte Seite: ˜b = P b = (1.2, 0.6, −2.1) T
˜Ly = ˜b ergibt
und Vorwärtseinsetzen in
y 1 = 1.2, y 2 = 0.6−0.348·1.2 ≈ 0.182, y 3 = −2.1−0.609·1.2−0.00104·0.182 ≈ −2.83.
Als Näherung ˜x erhalten wir:
mit einem relativen Fehler
⎛ ⎞
0.35
⎜ ⎟
˜x = ⎝−0.98⎠
2.16
‖˜x − x‖ 2
‖x‖ 2
≈ 0.0002,
also von nur 0.02% statt 140%.
Die Beispiele zeigen, dass die berechnete LR-Zerlegung in praktischer Anwendung natürlich
keine echte Zerlegung, sondern aufgrund von Rundungsfehlern nur eine Näherung der
Matrix A ≈ LR ist. Man kann durch Berechnung von LR leicht die Probe machen und
den Fehler A − LR bestimmen.
Die LR-Zerlegung ist eines der wichtigsten direkten Verfahren zum Lösen von linearen
Gleichungssystemen. Der Aufwand zur Berechnung der LR-Zerlegung steigt allerdings mit
dritter Ordnung sehr schnell. Selbst auf modernen Computern übersteigt die Laufzeit für
große Gleichungssysteme schnell eine sinnvolle Grenze:
n Operationen Zeit
100 300 000 30 µs
1 000 300 · 10 6 30 ms
10 000 300 · 10 9 30 s
100 000 300 · 10 12 10 h
1 000 000 300 · 10 15 1 Jahr
Tabelle 4.1: Rechenzeit zum Erstellen der LR-Zerlegung einer Matrix A ∈ R n×n auf einem
Rechner mit 10 GigaFLOPS.
Bei der Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen treten Gleichungssysteme
mit n = 10 6 ∼ 10 9 auf. Die Matrizen verfügen dann aber über Struktureigenschaften wie
Symmetrie, oder über ein besonders dünnes Besetzungsmuster (in jeder Zeile sind nur
einige wenige ungleich Null). Die linearen Gleichungsysteme, die bei der Finite-Elemente
Diskretisierung der Laplace-Gleichung (beschreibt die Ausdehnung einer Membran) entstehen
haben z.B. unabhänging von n nur 5 Einträge pro Zeile. Die so entstehenden linearen
Gleichungsysteme lassen sich bei effizienter Implementierung der LR-Zerlegung auch bei
n = 1 000 000 in weniger als einer Minute lösen.
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