Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2 Nullstellenbestimmung
• Im Sinne des ersten Kapitels 1: welche Aussagen können wir zur Stabilität und der
Konditionierung der Nullstellenbestimmung machen?
• Konstruktion eines effizienten numerischen Verfahrens.
• Wie schnell konvergiert (x k ) k∈N gegen ˆx? Das bedeutet insbesondere die Quantifizierung
Konvergenzordnung und Konvergenzrate (Maße für die Konvergenzgeschwindigkeit).
In Analysis I/II haben wir bisher immer von einer Folge x k → ˆx gesprochen,
die gegen den Grenzwert konvergiert. Diese Aussage ist in der Praxis aber nutzlos,
da wir in endlicher Rechenzeit eine Lösung erhalten möchten.
• Konvergiert das ausgewählte numerische Verfahren auf beliebig großen Intervallen
und mit beliebig gewählten Startwerten x 0 , oder nur dann, wenn der Startwert x 0
bereits hinreichend nahe an der gesuchten Nullstelle ist? In anderen Worten: ist das
Verfahren lokal oder global konvergent?
• Abschätzung der zu erwartenden Konvergenz mittels einer aussagekräftigen Fehlerschranke
für die Approximation |x N − ˆx|. Hier werden wir zwischen der a priori und
a posteriori Fehleranalyse unterscheiden. Bei der a priori Fehleranalyse wird der
Fehler |x N − ˆx| vor der Rechnung abgeschätzt. Dies gibt dem Numeriker eine grobe
Schranke zum Verhalten der Fehlerentwicklung, die aber lediglich asymptotisch richtig
ist - und somit für quantitative Aussagen oft nutzlos ist. Dagegen wird bei der
a posteriori Fehleranalyse der Fehler |x N − ˆx| während der Rechnung abgeschätzt,
alle bereits berechneten Approximation x 0 , x 1 , . . . , x N können in die Abschätzung
einfließen. A posteriori Abschätzungen lassen oft quantitative Aussagen zu, die zur
Steuerung des numerischen Verfahrens genutzt werden können.
Im Rest dieses Kapitels werden wir die oben genannten Fragen anhand verschiedener
Verfahren diskutieren und die Schlüsselbegriffe spezifizieren.
Generell lassen sich die Verfahren zur Nullstellensuche in ableitungsfreie Verfahren (z.B.
Intervallschachtelung, Sekantenmethode, sukzessive Approximation) und ableitungsbehaftete
Verfahren einteilen (Newton-artige Verfahren). Exemplarisch betrachten wir dazu die
Intervallschachtelung und das klassische Newton-Verfahren. Die weiteren Verfahren werden
am Ende des Kapitels zusammenfassend erläutert mit Hinweisen auf weiterführende
Literatur.
Der Sinn dieses Kapitels ist einerseits die Brücke von bereits bekannten Problemstellungen
in der Schule (hier: Nullstellenbestimmung) zu Aussagen der Analysis (z.B. Zwischenwertsatz,
Konvergenz) zu schlagen. Gleichzeitig gehören die Algorithmen dieses Kapitels zu der
großen Klasse von Fixpunktverfahren. Diese Verfahren werden wir ausführlich in Kapitel 5
besprechen. Insbesondere sind diese Verfahren auf höherdimensionale Funktionen f ∈ R n
sowie zum Lösen von Differentialgleichungen geeignet (siehe [11, 10] und entsprechende
Hinweise auf die Fachliteratur).
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