Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.3 Numerische Differentiation
Satz 3.26 (Existenz, Energieminimierung und Fehlerabschätzung kubischer Splines). Es
sei f eine gegebene zu interpolierende Funktion oder y 0 , . . . , y n eine Reihe von Messwerten.
Durch x 0 , x 1 , . . . , x n seien n + 1 paarweise verschiedene Stützstellen gegeben. Der durch
die Interpolationsvorschrift
s n (x i ) = f(x i ) = y i ∈ R, i = 0, . . . , n, s ′′ n(a) = y a ∈ R, s ′′ n(b) = y b ∈ R
beschriebene kubische Spline existiert. Er ist eindeutig bestimmt durch die Vorgabe der
zweiten Ableitungsinformationen.
Sei weiter g ∈ C 2 ([a, b]) beliebig mit g(x i ) = f(x i ) = y i mit x i ∈ [a, b] sowie y a = g ′′ (a)
und y b = g ′′ (b). Dann gilt das Prinzip der Energieminimierung:
∫ b
a
|s ′′ n(x)| 2 dx ≤
∫ b
Falls f ∈ C 4 [a, b], so gilt die Fehlerabschätzung
a
|g ′′ (x)| 2 dx, ∀g ∈ C 2 [a, b].
max
a≤x≤b |f(x) − s n(x)| ≤ 1 2 h4 max
a≤x≤b |f (4) (x)|.
Beweis: Siehe [9], S. 43-47.
□
3.3 Numerische Differentiation
In diesem Abschnitt befassen wir uns mit einer einfachen numerischen Aufgabe: zu einer
gegebenen Funktion f : [a, b] → R soll in einem Punkt x 0 ∈ (a, b) die Ableitung f ′ (x 0 )
oder die n-te Ableitung f (n) (x 0 ) berechnet werden. Wir gehen davon aus, dass es mit vertretbarem
Aufwand nicht möglich ist, die Funktion f(x) symbolisch zu Differenzieren und
die Ableitung an der Stelle x 0 auszuwerten. Wir benötigen also Approximationsverfahren
zur Bestimmung der Ableitung. Die grundlegende Idee wird durch das folgende Verfahren
beschrieben:
Verfahren 3.27 (Numerische Differentiation). Die Funktion f : [a, b] → R wird durch
ein Polynom p(x) interpoliert. Die n-te Ableitung f (n) (x 0 ) wird durch die n-te Ableitung
des Polynoms p (n) (x 0 ) approximiert.
Im Folgenden entwickeln wir einige einfache Verfahren zur Approximation von Ableitungen,
welche auf der Interpolation beruhen.
Lineare Interpolation Wir interpolieren f(x) linear in den Stützstellen x 0 sowie x 0 + h:
p 1 (x) = f(x 0 ) x 0 + h − x
h
+ f(x 0 + h) x − x 0
h
, p ′ 1(x) = f(x 0 + h) − f(x 0 )
.
h
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