Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
mit einem Zwischenwert ξ ∈ (a, b).
□
Die Boxregel ist die einfachste Quadraturformel. In Analogie zur Diskussion bei den Differenzenquotienten
können wir bei der Mittelpunktsregel durch geschickte Ausnutzung
der Symmetrie eine bessere Approximationsordnung erwarten. Um diese bessere Ordnung
zu erreichen müssen wieder Superapproximationeigenschaften genutzt werden, welche im
Allgemeinen etwas Mehraufwand erfordern:
Satz 3.43 (Mittelpunktsregel). Es sei f ∈ C 2 [a, b]. Die Mittelpunktsregel (Definition 3.37)
ist von Ordnung 2 und es gilt die Fehlerabschätzung:
( a + b
I 0 (f) := (b − a)f
2
mit einer Zwischenstelle ξ ∈ (a, b).
)
, I(f) − I 0 (f) =
(b − a)3
f ′′ (ξ),
24
Beweis: Aufgrund der Interpolation mit konstantem Polynom ist zunächst ist nur erste
Ordnung zu erwarten. Es gilt mit Satz 3.4:
∫ b [ ] ( a + b
I(f) − I 0 (f) = f
a 2 , x x − a + b )
dx.
2
Angenommen ¯f(x) ein lineares Polynom. Dann ist ¯f ′ konstant und also ¯f [(a + b)/2, x] =
¯f[(a + b)/2, ¯x] mit ¯x ∈ [a, b]. Aus Symmetriegründen folgt:
I(r ¯f) − I 0 ( ¯f) = ¯f[(a + b)/2, ¯x]
} {{ }
konstant
∫ b (
x − a + b )
dx = 0.
2
a
} {{ }
=0
Zur Herleitung der Fehlerabschätzung soll diese Argumentation weiter genutzt werden.
Das Restglied einer beliebigen linearen Funktion ¯f verschwindet. Daher können wir ein
beliebiges ¯f (welches wir weiter unten spezifizieren) in die Fehleridentität (3.15) für allgemeines
f ∈ C 2 ([a, b]) einschieben:
I(f) − I 0 (f) =
=
∫ b
a
∫ b
a
[ ] ( a + b
f
2 , x x − a + b )
dx
2
(
f
[ a + b
2 , x ]
− ¯f
[ a + b
2 , x ]) (
Es gilt mit Taylor-Entwicklung von f ′ um den Mittelwert:
f
[ ] ∫ a + b
t
2 , x =
=
0
∫ t (
0
( a + b
f ′ 2
( a + b
f ′ 2
(
+ t
x − a + b ))
dt
2
x − a + b
2
) (
+ t
x − a + b )
dx.
2
) )
f ′′ (ξ) dt,
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