Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
also
⎛
G (2) ⎜
1 0 0
⎞
⎟
= ⎝0 −0.707 0.707 ⎠ ,
0 −0.707 −0.707
⎛
A (2) = G (2) A (1) ⎜
1 1 1
⎞
⎟
≈ ⎝0 0.0141 0.00707 ⎠ = ˜R.
0 0 −0.00707
Zur Probe berechnen wir zunächst ˜Q := (G (1) ) T (G (2) ) T :
⎛
⎞
1 0.00707 0.00707
⎜
⎟
˜Q = ⎝0.01 −0.707 −0.707⎠ .
0 0.707 −0.707
Die Matrizen ˜Q sowie ˜R sind nahezu identisch zu denen der Householder-Transformation
in Beispiel 4.60. Daher ist auch die Genauigkeit der Approximation entsprechend gut:
⎛
˜Q T ⎜ ˜Q 1.0001 0 0
⎞ ⎛
⎞
1 1 1
= ⎝ 0 0.99975 −5 · 10 −5 ⎟ ⎜
⎠ , ˜Q ˜R ≈ ⎝0.01 3 · 10 −5 ⎟
0.01 ⎠ ,
0 −5 · 10 −5 0.99975
0 0.00997 0.009997
mit relativen Fehlern ‖ ˜Q ˜R − A‖ 2 /‖A‖ 2 ≈ 0.00005 sowie ‖ ˜Q T ˜Q − I‖2 ≈ 0.0003.
4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß’sche
Ausgleichrechnung
In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche
Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen:
Ax = b, A ∈ R n×m , x ∈ R m , b ∈ R n , n ≠ m.
Im Fall n > m sprechen wir von überbestimmten Gleichungssystemen, im Fall n < m
von unterbestimmten Gleichungssystemen. Die Untersuchung der eindeutigen Lösbarkeit
von allgemeinen Gleichungssystemen mit rechteckiger Matrix A kann nicht mehr an deren
Regularität ausgemacht werden. Stattdessen wissen wir, dass ein Gleichungssystem genau
dann lösbar ist, falls der Rang der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix
(A|b) ist. Gilt zusätzlich rang(A) = m, so ist die Lösung eindeutig. Ein unterbestimmtes
lineares Gleichungssystem kann daher nie eindeutig lösbar sein. Wir betrachten in diesem
Abschnitt ausschließlich überbestimmte Gleichungssysteme, d.h. den Fall n > m. Ein
solches Gleichungssystem ist im allgemeinen Fall nicht lösbar:
Beispiel 4.64 (Überbestimmtes Gleichungssystem). Wir suchen das quadratische Interpolationspolynom
p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ,
gegeben durch die Vorschrift:
p(−1/4) = 0, p(1/2) = 1, p(2) = 0, p(5/2) = 1.
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