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Cap.5. L’equazione generalizzata di Bernoulli …
Bilancio di massa - Equazione di continuità
Dato che i condotti che consideriamo sono dei sistemi aperti a regime, l’equazione di bilancio
di massa si formula come
G = ρ w A = costante
(5.11)
e applicandola tra le sezioni a e b del condotto, si ha
ρ w A = ρ w A
(5.12)
a
a
a
b
b
b
dato che considereremo solo fluidi incomprimibili, per cui ρ = cost, si ha infine
w A = w A
(5.13)
a
a
b
b
E’ importante notare una conseguenza della equazione precedente: da essa si vede che un
fluido si muove più velocemente in corrispondenza di un restringimento di sezione.
Purtroppo la stessa cosa non vale per il traffico automobilistico!
Ci si può chiedere che relazione ci sia tra la (5.13) e la equazione di Hugoniot, introdotta nel
cap.5. Dato che per un fluido incomprimibile la velocità del suono vale infinito, per esso il
numero di Mach vale costantemente zero e la relazione di Hugoniot, con alcuni semplici
passaggi matematici, si riduce alla forma della (5.13).
L’equazione generalizzata di Bernoulli
L’equazione di bilancio per unità di massa di un sistema aperto si può scrivere in forma
differenziale
ricordando che
dh
+ de
+ de
= dq
− dl'
(5.14)
c
p
⎧dh
= Tds
+ vdp
⎨
(5.15)
⎩dq
= Tds
− Tds s
e sostituendo nella precedente, si ha, con semplici passaggi
v dp
+ de
+ de
= − T ds
− dl'
(5.16)
c
p
I termini di energia potenziale e cinetica valgono rispettivamente
⎧dep
= gdz
⎪
2
⎨ w
⎪dec
= α d
⎩ 2
s
(5.17)
dove z rappresenta la quota del fluido (più precisamente, del suo baricentro) rispetto ad un
riferimento arbitrario e il termine α indica che, a causa della distribuzione (profilo) di velocità
nel condotto, l’energia cinetica non è esprimibile semplicemente in funzione della velocità
media del fluido. In moto laminare (per un condotto a sezione circolare) si ha α = 2 e in moto
turbolento α ≈ 1.06 (in quest’ultimo caso, si può assumere α=1).
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