Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e ... - Valentiniweb.com

Capitolo 3
Le soluzioni degli esercizi 3.1-3.4 sono state redatte dallo studente Giacomo Garofalo
Appendici
Esercizio 3.1
Applichiamo l’equazione di bilancio della massa:
dM
= ∑G i
− ∑Gu
dt i
u
Siccome il nostro sistema è costituito da un cilindro con una sola apertura di ingresso ed una
sola di uscita, possiamo riscrivere il bilancio di massa nel seguente modo:
dM
= G i
− G u
dt
Con alcune considerazioni si può riscrivere la variazione di massa nel tempo dM dt come
variazione del livello dell’acqua nel tempo dL ( t)
dt .
Dalla definizione di densità otteniamo:
dM dV
M = V ⋅ ρ → = ⋅ ρ
dt dt
Dove dV dt è la variazione di volume nel tempo. Detto volume si può esprimere, secondo la
configurazione geometrica del sistema, come quello di un cilindro di altezza dL e area di base
A:
dV dL
= A⋅
dt dt
Ottengo così l’espressione cercata:
dM dL
= Aρ
dt dt
L’equazione differenziale (del primo ordine) che descrive il sistema è
dM
= Gi
− Gu
dt
dL
Aρ
= Gi
− K ⋅ L(t)
dt
Integrando, si ottiene:
t
G ⎛ − ⎞
=
i
L(
t)
⎜ ⎟
1 − e τ
K
⎝ ⎠
La costante di tempo τ vale
Aρ
τ= = 8.93 s
K
Il valore a regime (cioè per t → ∞ ) è
Gi
Lr
= = 5m
K
La condizione di regime si raggiunge dopo 4-5 costanti di tempo τ, ovvero dopo circa 40
secondi.
L’analogia con il processo di carica di un condensatore in un circuito RC-serie è notevole; il
circuito è descritto dalla seguente equazione differenziale (anch’essa del primo ordine):
= ⋅ + 1
E R i(
t)
C
∫ i ⋅ dt
integrandola si ottiene l’andamento della corrente nel tempo:
b-12