N. 3 - 21 aprile 2001 - Giano Bifronte

2. Due tappe fondamentali del Calcolo Combinatorio
- Quattro colori sono sempre sufficienti a decorare ogni possibile carta
geografica disegnata su un foglio di carta, con l'avvertenza che due
paesi con un confine comune non devono avere lo stesso colore?
(Risposta: si, sotto opportune ipotesi, cfr. K. Appel and W. Haken, The
four color proof suffices, Math. Intell. 8 (1986), 10-20.
- Esistono piani proiettivi di ordine 10?
(Risposta: no, cfr. C. Lam, L. Thiel and S. Swiercz, The non-existence
of finite projective planes of order 10, Canad. J. Math. 41 (1989), 1117-
1123.
La risposta a queste due semplici, ma importanti, domande è stata
possibile grazie all'uso massiccio del computer. In entrambi i casi il
computer è stato usato per provare una miriade di possibili sottocasi al
costo di mesi o anni di tempo di calcolo. Il matematico rigoroso
osserverà che tali risposte non sono controllabili dalla mente umana e
che una dimostrazione basata sull'uso del computer può essere soggetta
ad errori causati dal software e/o dall'hardware usati. Tuttavia,
utilizzando il computer in modo mirato, in un contesto di creatività a
spirale, la matematica sperimentale che esso ci aiuta a fare si è
dimostrata di grande aiuto al fine di ottenere anche dimostrazioni
classiche. Nella prossima sezione cercheremo di illustrare questo
concetto con un esempio.
3. Le Iperovali
Una iperovale di un piano proiettivo di ordine pari n è un insieme di n +
2 punti a tre a tre non allineati.
Nel 1975, M. Hall Jr. [cfr. Ovals in the desarguesian plane of order 16,
Ann. Mat. Pura Appl. 102 (1975), 159-176] ha dimostrato che nel piano
desarguesiano PG(2, 16) esistono soltanto due classi proiettivamente
distinte di iperovali:
- le iperovali regolari (cioè l'unione di coniche con il loro nucleo);
- una classe di iperovali irregolari.
Questa seconda classe era stata scoperta nel 1958 da Lunelli&Sce
mediante una ricerca esaustiva, eseguita con l'aiuto di un computer, di
archi completi in piani desarguesiani di ordine piccolo [cfr. K-archi
completi nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 e 16, Centro
131