N. 3 - 21 aprile 2001 - Giano Bifronte

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Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, 1958]. Pertanto, chiameremo
tali oggetti matematici iperovali di Lunelli-Sce.
La dimostrazione di Hall si basa pesantemente sul calcolo elettronico,
ma nel 1991 O'Keefe&Penttila hanno fornito una dimostrazione classica
(cioè senza l'aiuto del computer) dello stesso risultato di Hall. [cfr.
Hyperovals in PG(2, 16), European J. Comb. 12 (1991), 51-59].
Nel lavoro già citato, M. Hall ha anche fornito un insieme di generatori
per un gruppo di collineazioni delle iperovali di Lunelli-Sce, ma non è
riuscito a scoprire se tale gruppo è il loro gruppo delle collineazioni.
Nel 1978 G. Korchmaros, studiando una iperovale di Lunelli-Sce, ha
dimostrato classicamente che quel gruppo individuato da Hall è il
gruppo delle collineazioni della iperovale.
[cfr. Gruppi di collineazioni transitivi sui punti di una ovale [(q + 2)arco]
di S2, q, q pari, Atti. Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 27 (1978), 89-
105].
Molti ricercatori, sia con metodi classici che sperimentali, talvolta
unendo i due metodi, hanno cercato di trovare una generalizzazione dei
risultati sopra descritti a piani più grandi, ma tali ricerche non sono
tutte apparse nella letteratura. Chi è interessato alla ricostruzione di
molti di questi tentativi può consultare il bel lavoro di W. Cherowitzo:
The Lunelli-Sce hyperoval in PG(2, 16), Journal of Geometry (to
appear), e, dello stesso autore, Hyperovals in desarguesian planes: an
update, Discrete Math. 155 (1996), 31-38.
Nel primo dei due lavori appena citati, Cherowitzo fornisce una
costruzione sintetica, assolutamente priva di supporto elettronico, delle
iperovali di Lunelli-Sce. Attraverso tale costruzione, egli riesce anche a
determinare il loro gruppo delle proiettività e molte altre proprietà
interessanti.
Nel 1996, Cherowitzo, Penttila, Pinneri e Royle hanno anche dimostrato
che le iperovali di Lunelli-Sce non sono che i primi membri di una
famiglia infinita di iperovali, la famiglia degli ovali di Subiaco. [cfr.
Flocks and ovals, Geom. Dedicata 60 (1996), 17-37].
Per concludere questa sezione, ricordiamo altri lavori che utilizzano
pacchetti di Computer Algebra molto efficienti (CAYLEY, MAGMA,
NAUTY, GAP etc) per lo studio delle iperovali irregolari:
T. Pentilla & G.F. Royle, Classification of Hyperovals in PG(2, 32),
Journal Geom. 50 (1994), 151-158
T. Pentilla & I. Pinneri, Irregular Hyperovals in PG(2,64), Journal
Geom. 51 (1994), 89-100