Jahresbericht informatik 2009 - KIT – Fakultät für Informatik

Die Institute der Fakultät und ihre Forschungsvorhaben
schneiden. Graphen, die eine solche Zeichnung erlauben, heißen planar. Dabei ist es erlaubt,
die Kanten als beliebige Kurven zu zeichnen. Planare Graphen sind "einfach" im Sinne der
Algorithmik: Es existiert eine genaue Charakterisierung der planaren Graphen und es sind
optimale Algorithmen bekannt, die entscheiden, ob ein gegebener Graph planar ist oder
nicht.
Eine interessante Frage ist, ob die stückweise Zeichnung eines Graphens zur planaren
Zeichnung des ganzen Graphen ergänzt werden kann. In der Abbildung ist ein lösbares,
aber nicht ganz offensichtliches Beispiel angegeben. Diese Art von Problemstellung, in der
eine Teillösung eines Problems zu einer vollständigen Lösung ergänzt werden soll, ist häufig
viel schwieriger, da durch die Teillösung bereits einige Entscheidungen festgelegt sind.
Interessanterweise ist dies bei Planarität nicht der Fall. In Kooperation mit Wissenschaftlern
der Universität Roma Tre und der Karls-Universität in Prag konnten wir zeigen, dass das
Ergänzungsproblem für planare Zeichnungen effizient gelöst werden kann und gaben einen
optimalen Algorithmus an, der dieses Problem entscheidet.
Häufig ist man aber nicht nur an einer beliebigen planaren Zeichnung interessiert, sondern
stellt weitere Anforderungen an die Lage der Knoten und den Verlauf der Kanten: die
Knoten des Graphen sollen ausschließlich auf einem ganzzahligen Gitter gezeichnet werden
und die Kanten des Graphen sollen entlang von Gitterlinien verlaufen. Da sich nicht
alle Graphen auf diese Art geradlinig auf dem Gitter zeichnen lassen, dürfen die Kanten
auch Knicke enthalten. Solche Gitterzeichnungen treten unter anderem beim Entwurf von
Schaltkreisen auf. Generell ist man bestrebt, Kanten möglichst kurz und mit wenigen
Knicken zu realisieren. Die Zeichnung eines Graphen auf dem Gitter, bei der jede Kante
eine kürzeste Verbindung zwischen ihren Endpunkten ist, heißt geodätische Zeichnung; die
Kanten heißen Geodäten. Der Verlauf einer Geodäte ist monoton in x- und y-Richtung.
Daher kann man ihnen relativ leicht mit dem Auge folgen. Beim Entwurf von Schaltkreisen
wird durch die Wahl von Geodäten die Gesamtlänge der Leiterbahnen minimiert. Wir konnten
die bereits 2008 begonnene Arbeit an diesem Thema in diesem Jahr erfolgreich weiterführen.
Die Ergebnisse wurden im September auf der "Graph Drawing"-Konferenz in
Chicago vorgestellt.
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Ist es möglich, die angegebenen
Kanten in der Zeichnung
hinzuzufügen, ohne Kreuzungen
zu erzeugen?