MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

10 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Definitsioon 14. Arvu
nimetatakse risttahuka B m~o~oduks.
µ (B) = ∏ n
i=1 (b i − a i )
Ruumi R 2 korral nimetame risttahuka (ristküliku) m~o~otu pindalaks ja R 3
korral nimetame risttahuka m~o~otu ruumalaks. Üldjuhul on hulga m~o~odu defineerimine
keerukas ülesanne.
Kui n-m~o~otmelise ruumi hulk on l~opliku arvu risttahukate, millel puuduvad
ühised sisepunktid, ühend, siis selle hulga m~o~oduks nimetame ühendi komponentide
m~o~otude summat. Kui D ⊂ R n on t~okestatud hulk ja A on l~opliku
arvu ühiseid sisepunkte mitteomavate ristahukate ühend, mis sisaldab hulka D,
ning C on l~opliku arvu ühiseid sisepunkte mitteomavate ristahukate ühend, mis
sisaldub hulgas D, siis µ (C) ≤ µ (A) ja
sup µ (C) ≤ inf µ (A) .
C ⊂ D
D ⊂ A
Definitsioon 15. Kui
sup µ (C) = inf µ (A) ,
C ⊂ D
D ⊂ A
siis ruumi R n t~okestatud hulka D nimetatakse m~o~otuvaks ja arvu
nimetatakse hulga D m~o~oduks.
µ (D) def.
= sup µ (C)
C ⊂ D
Näiteks ruumi R 2 ringi
D =
{(x 1 , x 2 ) | (x 1 − a 1 ) 2 + (x 2 − a 2 ) 2 ≤ r 2}
korral µ (D) = πr 2 .
Ruumi R 3 punkti P (x 1 , x 2 , x 3 ) korral kasutame tihti tähistust P (x, y, z) ,
st nimetame ümber koordinaadid: x 1 → x, x 2 → y, x 3 → z. Märgime, et
kolmem~o~otmelises ruumis on v~orrandiga x = c, kus c on konstant, määratud
tasand paralleelne yz-tasandiga. Analoogiliselt on v~orranditega y = c ja z = c
määratud tasandid paralleelsed vastavalt xz- ja xy-tasandiga.
Punkti asukoha määramiseks kolmem~o~otmelises ruumis kasutatakse lisaks
ristkoordinaatidele ka silinderkoordinaate ehk silindrilisi koordinaate ja sfäärkoordinaate
ehk sfäärilisi koordinaate.
Definitsioon 16. Ruumi R 3 punkti P koordinaate ρ, ϕ ja z, mida ristkoordinaatidega
x, y ja z seovad valemid
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, (1.1.1)