MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.6. ILMUTAMATA FUNKTSIOONI OSATULETISED 31
Analoogiliselt saab näidata, et z v = z x x v + z y y v . Oleme t~oestanud järgmise
väite.
Lause 2. Kui funktsioonid x = x(u, v) ja y = y(u, v) on diferentseeruvad
punktis P (u, v) ning funktsioon z = z(x, y) on diferentseeruv punktis
(x(P ), y(P )), siis liitfunktsiooni z = z (x(P ), y(P )) = z(u, v) osatuletised avalduvad
kujul
z u = z x x u + z y y u , z v = z x x v + z y y v . (1.5.6)
Tähistusega z = z(x, y) r~ohutame fakti, et me käsitleme suurust z kui muutujate
x ja y funktsioooni. Analoogiliselt näitab tähistus z = z(u, v), et suurus z
on muutujate u ja v funktsioon. Lisaks on z = z(x, y) eeskiri, mille järgi seatakse
punktile P (x, y) vastavusse arv z. R~ohutame, et vastavusse seadmise eeskirjad
z(x, y) ja z(u, v) on erinevad.
Näide 2. Olgu z = z(x, y), x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Leiame seosed osatuletiste
z x , z y ja z ϕ , z ρ vahel.
Rakendame Lauset 2, kusjuures muutuja u asemel kasutame muutujat ϕ ja
muutuja v asemel muutujat ρ. Valemite (1.5.6) abil leiame, et
z ϕ = z x x ϕ + z y y ϕ = z x (−ρ sin ϕ) + z y (ρ cos ϕ) = xz y − yz x ,
z ρ = z x x ρ + z y y ρ = z x cos ϕ + z y sin ϕ = 1 ρ (xz x + yz y )
ehk {
xzy − yz x = z ϕ
xz x + yz y = ρz ρ .
Viimastest seostest ~onnestub avaldada z x ja z y :
{ xyzy − y 2 z x = yz ϕ
x 2 ⇒ ( x 2 + y 2) z
z x + xyz y = xρz x = xρz ρ − yz ϕ ⇒
ρ
⇒ z x = z ρ cos ϕ − (z ϕ /ρ) sin ϕ,
{ x 2 z y − xyz x = xz ϕ
yxz x + y 2 z y = yρz ρ
⇒ ( x 2 + y 2) z y = xz ϕ + yρz ρ ⇒
⇒ z y = z ρ sin ϕ + (z ϕ /ρ) cos ϕ.
♦
1.6 Ilmutamata funktsiooni osatuletised
Selles punktis uurime, kuidas leida tuletist v~oi osatuletist ilmutamata funktsioonist.
T~oestuskäigu lihtsuse huvides eeldame rohkem kui on antud väidete
t~oestamiseks vaja.
1 ◦ Alustame lihtsamast juhust, kui funktsioon y = f(x) on antud v~orrandiga
F (x, y) = 0. (1.6.1)