MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.4. KAHEKORDSE INTEGRAALI RAKENDUSED 165
ja r = pq. Olgu ∆x i = x i − x i−1 (i = 1, . . . , p) ja ∆y j = y j − y j−1 (j = 1, . . . , q)
ning ∆S i,j = ∆x i ∆y j . Valime piirkonnas D i, j punkti (ξ i , η j ) . Piirkonna D □
jaotusele osapiirkondadeks D i, j vastab pinna Σ jaotus osapindadeks
Σ ij
def.
= {(x, y, z) |((x, y) ∈ D i, j ) ∧ (z = f(x, y))} .
Pinna Σ ij punktis P i, j (ξ i , η j , f(ξ i , η j )) leiame puutujatasandi
z − f(ξ i , η j ) = f x (ξ i , η j ) (x − ξ i ) + f y (ξ i , η j ) (y − η j ) .
Vaatleme selle tasandi osa
{
def.
T ij = (x, y, z)
((x, y) ∈ D i, j ) ∧
∣ ∧ (z − f(ξ i , η j ) = f x (ξ i , η j ) (x − ξ i ) + f y (ξ i , η j ) (y − η j ))
}
Seega D i, j → Σ ij → T ij . V~orrandiga z = f(x, y) ((x, y) ∈ D □ ) esitatud sileda
pinna Σ pindalaks nimetame suurust
S Σ
def.
= lim
p∑
(max ∆x i, max ∆y j)→(0;0)
i=1 j=1
q∑
S Tij , (3.4.5)
kus S Tij on tasanditüki T ij pindala. Vektor n = (−f x (ξ i , η j ), −f y (ξ i , η j ), 1) on
pinnatüki Σ ij normaalvektor punktis P i, j (ξ i , η j , f(ξ i , η j )) . Veenduge, et
)
S Tij cos
(̂n, k = ∆S i,j ,
kus k = (0; 0; 1) on z-telje suunaline ühikvektor. Kuna
)
cos
(̂n, k = n · k
|n| · |k| = 1
√
,
(f x (ξ i , η j )) 2 + (f y (ξ i , η j )) 2 + 1
siis
S Tij = ∆S √
i,j
) = 1 + (f x (ξ i , η j ))
cos
(̂n, 2 + (f y (ξ i , η j )) 2 ∆x i ∆y j
k
ja seose (3.4.5) p~ohjal
S Σ =
lim
p∑
q∑
(max ∆x i, max ∆y j)→(0;0) i=1 j=1
√
1 + (f x (ξ i , η j )) 2 + (f y (ξ i , η j )) 2 ∆x i ∆y j
= ∫∫
D □
√
1 + (f x (x, y)) 2 + (f y (x, y)) 2 dxdy,
st ristkülikukujulise piirkonna D □ korral Lause 2 väide kehtib.
□