MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

224 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Ülesannetes 26–28 arvutage integraalid, teisendades polaarkoordinaatidesse:
26. ∫ R
0 dy ∫ √ R 2 −y 2
ln(1 + x 2 + y 2 )dy. V: π [( )
0 1 + R
2
ln ( 1 + R 2) − R 2] .
4
27. ∫∫ [
√
R2 − x
D
2 − y 2 dxdy, kus D on ring x 2 + y 2 ≤ Ry . V: R3
π − 4 ]
.
3 3
28. ∫∫ D arctan y x dxdy, kus D on osa r~ongast : 16 ≥ x2 + y 2 ≥ 4 ∧
∧ x √ 3 ≥ y ≥ x/ √ 3 . V: π 2 /4.
29. Arvutage integraal ∫∫ ( )
√ x
2 4
D xydxdy, kus D on joonega
2 + y2
= √ xy
5 10
piiratud piirkonna osa, mis paikneb esimeses veerandis. V:
4√
1000/6.
Ülesannetes ∫∫∫ 30–32 määrake rajad kolmekordses integraalis
f(x, y, z)dxdydz antud Ω korral, kasutades silinderkoordinaate v~oi
Ω
sfäärkoordinaate:
30. Ω on piirkond, mis on piiratud silindriga x 2 + y 2 = 2y, tasandiga z = 0 ja
paraboloidiga z = x 2 + y 2 .
V: ∫ π
0 dϕ ∫ 2 sin ϕ
ρdρ ∫ ρ 2
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) dz.
0 0
31. Ω on kera x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 osa, mis on silindri
(x 2 + y 2 ) 2 = R 2 (x 2 − y 2 ) (y ≥ 0) sees.
V: ∫ 3π/4
dϕ ∫ R √ − cos 2ϕ
ρdρ ∫ √ √ R 2 −ρ 2
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) dz.
π/4 0 − R 2 −ρ2 32. Ω on kahe kera x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ja x 2 + y 2 + (z − R) 2 ≤ R 2 ühisosa.
V: ∫ 2π
dϕ ∫ R √ 3/2
ρdρ ∫ √ R √ 2 −ρ 2
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) dz.
0 0 R− R 2 −ρ2 Ülesannetes 33–34 arvutage kolmekordne integraal, kasutades silindrilisi koordinaate
v~oi sfäärilisi koordinaate:
33. ∫ R
−R dy ∫ √ √ R 2 −y 2
dz ∫ √ R 2 −y 2 −z 2
(x 2 + y 2 4
)dx. V:
− R 2 −y 2 0
15 πR5 .
34. ∫ 2
−2 dx ∫ √ 4−x 2
− √ 4−x 2 dy ∫ √ 4−x 2 −y 2
− √ 4−x 2 −y 2 √
x2 + y 2 + z 2 dz. V: 16π.
Ülesannetes 35–51 leidke kordse integraali abil keha ruumala, kui keha on piiratud
pindadega:
35. z = x 2 + y 2 , x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 2. V: 8/3.
36. x = √ y, y = 2 √ y, z = 0, y + z = 4. V: 128/15.
37. z = 4 − y 2 , x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y = 6 (y ≥ 0). V: 10.
38. z = 16 − x 2 , x = 0, y = 0, z = 0, 3 x + 2y = 12 (x ≥ 0). V: 160.
39. x 2 + y 2 = R 2 , x 2 + z 2 = R 2 . V: 16R 3 /3.
40. x 2 + y 2 = R 2 , z = y 3 /R 2 , z = 0 (y ≥ 0). V: 4R 3 /15.
41. z = xy, x = √ y, x + y = 2, y = 0, z = 0. V: 3/8.
42. z 2 = xy, √ x + √ y = 1, z = 0 (z ≥ 0). V: 1/45.
43. x 2 + y 2 = R 2 , z = √ x 2 + y 2 , z + y = 2R. V: 4πR 3 /3.
44. x 2 + y 2 = R 2 , Rz = 2R 2 − x 2 − y 2 , z = 0. V: 3πR 3 /2.
45. x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x 2 + y 2 = Ry. V: 4R 3 (π/2 − 2/3) /3.
46. x 2 + y 2 = 4x, x 2 + y 2 = 4y, z = 2x + y, z = 0. V: 6 (π − 2) .