MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.13. ÜLESANDED 65
80. √ 6.02 2 + 7.97 2 . V: ≈ 9.976
81. 1.03 0.96 . V: ≈ 1.03.
82. Näidake, et funktsiooni z = √ x 2 + y 2 korral d 2 z ≥ 0.
√ x
83. Olgu f (x, y) =
y . Leidke df (1; 1) ja d 2 f (1; 1) .
dx − dy
V: df (1; 1) = , d 2 f (1; 1) = 1 (
)
3 (dy) 2 − (dx) 2 − 2 dxdy .
2
4
84. Leidke funktsiooni z = 1 esimest järku Taylori arendus punkti (2; 3)
x + y
ümbruses.
1
V:
5 − 1 25 (x − 2) − 1 25 (y − 3) + (x − 2)2 + 2 (x − 2) (y − 3) + (y − 3) 2
(2 + θ (x − 2) + 3 + θ (y − 3)) 3 .
85. Leidke funktsiooni z = √ x + y esimest järku Taylori arendus punkti (1; 1)
ümbruses.
V: √ 2 + 1
2 √ 1
(x − 1) +
2 2 √ 2 (y − 1) − (x − 1)2 + 2 (x − 1) (y − 1) + (y − 1) 2
.
8
√(1 + θ (x − 1) + 1 + θ (y − 1)) 3
86. Leidke funktsiooni w = xy + yz − xz teist järku Taylori arendus punkti
(1; 0; −1) ümbruses.
V: 1 + (x − 1) − (z + 1) + (x − 1) y + y (z + 1) − (x − 1) (z + 1) .
87. Leidke funktsiooni z = x y teist järku Taylori polünoom punkti (1; 1) ümbruses.
Leidke selle abil ligikaudu 1.1 1.02 . V: 1 + (x − 1) + (x − 1) (y − 1) ,
≈ 1.102.
(
88. Leidke punktis 2; −2; − π )
pinnale z = arctan y konstrueeritud puutujatasandi
ja normaali v~orrandid.
4
x
V: z + π 4 = 1 4 (x − 2) + 1 x − 2
(y + 2) ,
4 1/4 = y + 2
1/4 = z + π/4 .
−1
89. Leidke punktis (3; −4; 5) pinnale z = √ x 2 + y 2 konstrueeritud puutujatasandi
ja normaali v~orrandid.
V: z − 5 = 3 5 (x − 3) − 4 x − 3
(y + 4) ,
5 3/5 = −y + 4
4/5 = z − 5
−1 .
90. Leidke punktis (−1; −π; −1) pinnale z = cos (y/x) konstrueeritud puutujatasandi
ja normaali v~orrandid. V: z + 1 = 0, x + 1 = y + π = z + 1
0 0 −1 .
91. Leidke ellipsoidi x 2 + 2y 2 ( + z 2 = 1 puutujatasandid, mis on paralleelsed
tasandiga x − y + 2z = 0. V: x ± √ 2 ) (
− y ∓ 1 ) (
√ + 2 z ± 4 )
√ = 0.
22 22 22
92. Leidke sfääri x 2 + y 2 + z 2 = 2y puutujatasandid, mis on risti tasandiga
x + ( y − z = 3, kui ka tasandiga x − 2y + z = 1.
V: x ∓ √ 1 ) (
+ 2 y ∓ 2 ) (
√ − 1 + 3 z ∓ 3 )
√ = 0.
14 14 14
93. Näidake, et pindadel x + 2y − ln z = −4 ja x 2 − xy − 8x + z = −5 on ühine
puutujatasand punktis (2; −3; 1) .
94. Leidke ellipsoidi x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 puutujatasand, mis l~oikab
koordinaattelgedel v~ordse pikkusega l~oigud. V: x + y + z = √ a 2 + b 2 + c 2 .