MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
216 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS<br />
Vektorvälja F voogu (3.13.3) nimetatakse ka teist liiki pindintegraaliks<br />
pindintegraaliks projektsioonide järgi. Integraal (3.13.3) on esitatav kujul<br />
∫∫ ∫∫<br />
Fn dσ = (X, Y, Z) · (cos α, cos β, cos γ) dσ =<br />
Σ<br />
Σ<br />
∫∫<br />
= (X cos α + Y cos β + Z cos γ) dσ.<br />
Σ<br />
ehk<br />
Et<br />
cos α dσ = dy dz, cos β dσ = dx dz, cos γ dσ = dx dy,<br />
siis saame integraalile (3.13.3) kuju<br />
∫∫ ∫∫<br />
Fn dσ = Xdydz + Y dxdz + Zdxdy, (3.13.4)<br />
Σ<br />
Σ<br />
mis ~oigustab nimetust pindintegraal projektsioonide järgi. Et integreeritav funktsioon<br />
Fn s~oltub kahepoolse pinna korral sellest, kummale poole pinda on pinna<br />
normaalvektor n suunatud, siis teist liiki pindintegraal s~oltub pinna poolest,<br />
mööda mida toimub integreerimine. Selleks et integraali (3.13.4) arvutada, tuleb<br />
seose (3.13.4) paremal poolel iga liidetavat integreerida eraldi. Vaatleme integraali<br />
∫∫ Z dx dy arvutamist, kui pind Σ on antud v~orrandiga<br />
Σ<br />
Kehtib järgmine väide<br />
∫∫<br />
Σ<br />
z = z(x, y) ((x, y) ∈ pr xy Σ) .<br />
∫∫<br />
Z dx dy = ±<br />
pr xyΣ<br />
Z (x, y, z(x, y))dx dy, (3.13.5)<br />
kus märgiks valitakse plussmärk, kui kogu pinna Σ piires normaalvektor n<br />
moodustab z-telje positiivse suunaga teravnurga ja miinusmärk, kui kogu pinna<br />
Σ piires normaalvektor n moodustab z-telje positiivse suunaga nürinurga.<br />
Vajaduse korral jaotatakse pind Σ osadeks ja kasutatakse pindintegraali aditiivsust.<br />
Näide 2. Arvutame pindintegraali<br />
∫∫<br />
Σ<br />
z 2 dx dy,<br />
kus Σ on pinna x 2 +y 2 +z 2 = R 2 esimeses kaheksandikus paikneva osa pinnapool,
Change language