MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

More documents

Recommendations

Info

212 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~oestage Järelduse 3.11.3 kaasabil järgmine väide. Lause 7. Kui funktsioonid X, Y ja nende osatuletised X y ja Y x on pidevad xy-tasandi sidusas tükiti sileda rajajoonega γ piirkonnas D, kusjuures Y x = X y ((x, y) ∈ D) , ning A (a, b) ja P (x, y) on piirkonna D sisepunktid, siis Xdx+Y dy on kahe muutuja funktsiooni ∫ f (x, y) = Xdx + Y dy (3.12.17) täisdiferentsiaal, kus AP on mingi tükiti sile joon piirkonnas D. AP Näide 8. Leiame kahe muutuja funktsiooni f(x, y), kui on teada selle funktsiooni täisdiferentsiaal df = xdx + ydy x 2 + y 2 (x > 0) . Kontrollime, kas antud avaldis ikka on täisdiferentsiaal: x X = x 2 + y 2 ∧ Y = y x 2 + y 2 ⇒ ⇒ X y = − 2xy (x 2 + y 2 ) 2 ∧ Y x = − 2xy (x 2 + y 2 ) 2 ⇒ X y = Y x . Lause 7 p~ohjal saame ∫ f (x, y) = AP xdx + ydy x 2 + y 2 . Kuna selle integraali väärtus ei s~oltu tükiti sileda joone AP valikust, siis integreerime piki murdjoont AQP, mille l~oigud AQ ja QP on paralleelsed koordinaattelgedega y P (x, y) b A(a, b) a Q(x, b) x Seega ∫ f (x, y) = = = AQ ⎡ ⎢ ⎣ ∫ x a ∫ xdx + ydy x 2 + y 2 + QP AQ : x = t, y = b −−−−−−→ a ≤ t ≤ x dx dt = 1, dy dt = 0 ∫ t y t 2 + b 2 dt + b xdx + ydy (3.10.6) x 2 + y 2 = QP : y = u, x = x −−−−−−→ b ≤ u ≤ y dx du = 0, dy du = 1 ⎤ ⎥ ⎦ = u x 2 + u 2 du = ln √ x 2 + y 2 − ln √ a 2 + b 2 . ♦
3.13. PINDINDINTEGRAALID 213 3.13 Pindindintegraalid Olgu antud tükiti!sile pind Σ, s.o l~oplikust arvust siledatest tükkidest (vt Definitsioone 3.4.1 ja 3.4.2) koosnev pind. Olgu pinna Σ punktides määratud funktsioon f(x, y, z). Jaotame pinna Σ sel pinnal asetsevate tükiti siledate joontega n osapinnaks Σ i . Olgu osapinna Σ i pindala ∆σ i ja δ i suurim kaugus osapinna Σ i kahe punkti vahel. Igal osapinnal Σ i valime punkti P i . Moodustame integraalsumma n∑ f (P i ) ∆σ i . i=1 Märgime, et max δ i → 0 ⇒ n → ∞. Definitsioon 1. Kui eksisteerib piirväärtus lim max δ i→0 i=1 n∑ f (P i ) ∆σ i , mis ei s~oltu pinna Σ osapindadeks Σ i jaotamise viisist ja punkti P i valikust osapinnal Σ i , siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks ehk pindintegraaliks pindala järgi üle pinna Σ ja tähistatakse ∫∫ f(x, y, z)dσ (3.13.1) Σ v~oi ∫∫ f(P )dσ. Σ Paneme kirja m~oningad esimest liiki pindintegraali omadused, mille t~oestamise jätame üli~opilasele. Vajaduse korral leiate nende väidete t~oestused G. Kangro ~opikust [9]. 1. Kui f(P ) = 1 (P ∈ Σ) , siis ∫∫ 1 dσ = S Σ , Σ kus S Σ on pinna Σ pindala. 2. Pindintegraal (3.13.1) ei s~oltu pinna Σ poolest. 3. Pindintegraal (3.13.1) on aditiivne, st kui eksisteerib ∫∫ f(P )dσ ja pind Σ Σ koosneb kahest osast Σ I ning Σ <strong>II</strong> , siis ∫∫ ∫∫ ∫∫ f(P ) dσ = f(P ) dσ + f(P ) dσ. Σ Σ I 4. Pindintegraal (3.13.1) on lineaarne, st kui eksisteerivad integraalid ∫∫ ∫∫ f 1 (P ) dσ, f 2 (P ) dσ Σ Σ Σ <strong>II</strong>
Page 1 and 2:
http://www.ttu.ee http://www.staff.
Page 3:
Eess~ona Käesolev ~oppevahend on j
Page 6 and 7:
2.12 Fourier’ rida ortogonaalse s
Page 8 and 9:
8 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
70 PEATÜKK 2. READ Tähistame süm
Page 72 and 73:
72 PEATÜKK 2. READ mille t~oestame
Page 74 and 75:
74 PEATÜKK 2. READ Kui kahele real
Page 76 and 77:
76 PEATÜKK 2. READ Lause 2. Kui po
Page 78 and 79:
78 PEATÜKK 2. READ Näide 3. Uurim
Page 80 and 81:
80 PEATÜKK 2. READ Kui q > 1, siis
Page 82 and 83:
82 PEATÜKK 2. READ Märgime, et n!
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
88 PEATÜKK 2. READ Et S 2n = S 2n+
Page 90 and 91:
90 PEATÜKK 2. READ Üldjuhul lahut
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
94 PEATÜKK 2. READ 2.8 Abeli teore
Page 96 and 97:
96 PEATÜKK 2. READ arvrea ∑ ∞
Page 98 and 99:
98 PEATÜKK 2. READ koonduvust. Kas
Page 100 and 101:
100 PEATÜKK 2. READ Seega on antud
Page 102 and 103:
102 PEATÜKK 2. READ mida nimetatak
Page 104 and 105:
104 PEATÜKK 2. READ (1 + x) α = 1
Page 106 and 107:
106 PEATÜKK 2. READ Näide 5. Aren
Page 108 and 109:
108 PEATÜKK 2. READ 2.10.3 Diferen
Page 110 and 111:
110 PEATÜKK 2. READ ja y (2k+1) =
Page 112 and 113:
112 PEATÜKK 2. READ Seega saame di
Page 114 and 115:
114 PEATÜKK 2. READ ja ∫ 2 1 ( )
Page 116 and 117:
116 PEATÜKK 2. READ st Definitsioo
Page 118 and 119:
118 PEATÜKK 2. READ Avaldame eleme
Page 120 and 121:
120 PEATÜKK 2. READ 2.12 Fourier
Page 122 and 123:
122 PEATÜKK 2. READ ja v~oi Valiku
Page 124 and 125:
124 PEATÜKK 2. READ Kui l~oigul [
Page 126 and 127:
126 PEATÜKK 2. READ 2 ◦ Vaatleme
Page 128 and 129:
128 PEATÜKK 2. READ Seega saame tu
Page 130 and 131:
130 PEATÜKK 2. READ Näide 2. Leia
Page 132 and 133:
132 PEATÜKK 2. READ siis süsteem
Page 134 and 135:
134 PEATÜKK 2. READ 2.17 Fourier
Page 136 and 137:
136 PEATÜKK 2. READ Valemi (2.17.4
Page 138 and 139:
138 PEATÜKK 2. READ nimetatakse fu
Page 140 and 141:
140 PEATÜKK 2. READ Fourier’ sii
Page 142 and 143:
142 PEATÜKK 2. READ 34. ∑ ( )
Page 144 and 145:
144 PEATÜKK 2. READ ∞∑ 78. f(x
Page 146 and 147:
146 PEATÜKK 2. READ 114. Arendage
Page 148 and 149:
148 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 150 and 151:
150 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 152 and 153:
152 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 154 and 155:
154 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS R~
Page 156 and 157:
156 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 158 and 159:
158 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 160 and 161:
160 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS sa
Page 162 and 163: 162 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS y
Page 164 and 165: 164 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS si
Page 166 and 167: 166 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 170 and 171: 170 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 172 and 173: 172 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ab
Page 174 and 175: 174 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS st
Page 176 and 177: 176 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS La
Page 178 and 179: 178 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 180 and 181: 180 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 182 and 183: 182 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Se
Page 190 and 191: 190 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS I
Page 192 and 193: 192 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS eh
Page 194 and 195: 194 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Sa
Page 196 and 197: 196 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ku
Page 202 and 203: 202 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS se
Page 204 and 205: 204 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 208 and 209: 208 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 214 and 215: 214 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ja
Page 216 and 217: 216 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 218 and 219: 218 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ka
Page 222 and 223: 222 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Page 224 and 225: 224 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ü
Page 226 and 227: 226 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 68
Page 228 and 229: 228 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 10
Page 230 and 231: 230 KIRJANDUS [15] L~ohmus, A., Tam
Page 232 and 233: 232 INDEKS graafik, 12 ilmutamata k
Page 234 and 235: 234 INDEKS normaalvektor, 36 pindal
show all

MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?