MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

164 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
siis (veenduge)
D =
{
}
(x, y) | (x − 1/2) 2 + (y − 1/2) 2 ≤ 1/2
ja
x + y, x 2 + y 2 ∈ C (D) , x + y ≥ x 2 + y 2 ((x, y) ∈ D) .
Lause 1 tingimused on täidetud. Valemi (3.4.3) p~ohjal saame
∫∫
∫∫
(
V Ω = (g (P ) − f(P )) dS = x + y − x 2 − y 2) dS =
D
⎡
= ⎣
J = ρ
x = 1/2 + ρ cos ϕ
y = 1/2 + ρ sin ϕ ⇒ x 2 + y 2 − x − y = 0 ⇔
⇔ ρ = √ 2/2
D
⎤
⎦ =
∫2π
= dϕ
0
√
∫2/2
( ) 1
2 − ρ2 ρdρ = 2π ·
0
3.4.3 Pinnatüki pindala arvutamine
1
16 = π 8 . ♦
Definitsioon 1. V~orrandiga z = f (x, y) ((x, y) ∈ D) esitatud pinda Σ nimetatakse
siledaks, kui
f x (x, y) , f y (x, y) ∈ C (D) .
Lause 2. Kui D on normaalne piirkond ja v~orrandiga z = f (x, y) ((x, y) ∈ D)
esitatud pind Σ on sile, siis tema pindala S Σ on leitav valemiga
∫∫ √
S Σ = 1 + (f x (x, y)) 2 + (f y (x, y)) 2 dxdy. (3.4.4)
D
T~oestame Lause 2 juhul, kui
D □ = {(x, y) | (a ≤ x ≤ b) ∧ (c ≤ y ≤ d)} .
Jaotame piirkonna D □
r osapiirkonnaks
D i,j = {(x, y) | (x i−1 ≤ x ≤ x i ) ∧ (y j−1 ≤ y ≤ y j )} ,
kusjuures
a = x 0 < x 1 < . . . < x p−1 < x p = b
c = y 0 < y 1 < . . . < y q−1 < y q = d