MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.1. ARVREAD 73
mis on lähtereast (2.1.1) saadav m−1 esimese liikme ärajätmisel. Kui tähistada
rea (2.1.1) esimese n liikme summat sümboliga Sn I ja rea (2.1.6) esimese n liikme
summat sümboliga Sn II , siis kehtib seos
S I n+m−1 = (a 1 + . . . + a m−1 ) + S II
n . (2.1.7)
Kui rida (2.1.1) koondub ja rea (2.1.1) summa on S, siis ka
lim
n→∞ SI n+m−1 = S.
Seega eksisteerib piirväärtus seose (2.1.7) vasakust poolest piirprotsessis
n → ∞. Järelikult eksisteerib selles piirprotsessis piirväärtus ka seose (2.1.7)
paremast poolest. Et suurus a 1 +. . .+a m−1 ei s~oltu muutujast n, siis eksisteerib
piirväärtus lim
n→∞ SII n , st rida (2.1.6) on koonduv. Rea (2.1.6) koonduvusest saab
järeldada rea (2.1.1) koonduvuse. Seega on read (2.1.1) ja (2.1.6) kas m~olemad
koonduvad v~oi on m~olemad hajuvad. Analoogilise tulemuseni j~ouame l~opliku
arvu liikmete juurdev~otmisel. Vormistame tulemuse.
Lause 2. L~opliku arvu liikmete ärajätmine v~oi lisamine ei m~ojuta rea koonduvust.
Rea koonduvuse korral muutub vaid rea summa.
Olgu S koonduva rea (2.1.1) summa. Lause 2 p~ohjal on koonduv ka rida
∞∑
k=n+1
Kui tähistada selle rea summat sümboliga R n , siis kehtib seos
n→∞
a k .
S = S n + R n ,
kusjuures R n → 0. Cauchy kriteerium annab tarviliku ja piisava tingimuse
selleks, et jadal {S n } oleks l~oplik piirväärtus. Nimelt, jadal {S n } on l~oplik
piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale positiivsele arvule ε leidub niisugune
naturaalarv n 0 , et iga naturaalarvu p puhul
|S n+p − S n | < ε,
kui n > n 0 . Et S n+p − S n = ∑ n+p
k=n+1 a k, siis saame Cauchy kriteeriumi alusel
tarviliku ja piisava tingimuse arvrea (2.1.1) koonduvuseks.
Lause 3 (Cauchy kriteerium). Arvrida (2.1.1) koondub parajasti siis, kui
vastavalt igale positiivsele arvule ε leidub selline naturaalarv n 0 , et iga naturaalarvu
p puhul
|a n+1 + a n+2 + a n+3 + . . . + a n+p | < ε,
kui n > n 0 .
Selleks et defineerida tehted ridadega, vaatleme veel rida
∞∑
b k . (2.1.8)
k=1