MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.9. ESIMEST LIIKI JOONINTEGRAAL 191
Olgu A joone Γ alguspunkt ja B selle joone l~opp-punkt. Jaotame joone Γ
A = P 0 (x 0 , y 0 , z 0 )
❳❳ ❳❳
❳ ❳
P i−1 (x i−1 , y i−1 , z i−1 )
❝ ❝❝❝ Q i (ξ i , η i , ς i )
P i (x i , y i , z i )
❚
❚❚
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣❵♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣❵♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
♣♣♣
B = P n (x n , y n , z n )
parameetri t väärtustele t i vastavate punktidega P i (x i , y i , z i ) (i = 0; 1; . . . ; n) n
osakaareks, kusjuures P 0 = A vastab parameetri väärtusele α ja P n = B vastab
parameetri väärtusele β ning α = t 0 < t 1 < . . . < t n−1 < t n = β. Igal osakaarel
P i−1 P i (i = 1; . . . ; n) v~otame parameetri t väärtusele τ i (τ i ∈ [t i−1 , t i ]) vastava
punkti Q i (ξ i , η i , ς i ) . Olgu
∆t i = t i − t i−1 , ∆x i = x i − x i−1 , ∆y i = y i − y i−1 , ∆z i = z i − z i−1 .
Definitsioon 1. V~orrandiga (3.9.1) esitatud joont Γ nimetatakse sirgestuvaks,
kui
n∑ √
∃ lim (∆x i ) 2 + (∆y i ) 2 + (∆z i ) 2 (3.9.2)
max ∆t i→0
i=1
s~oltumata l~oigu [α, β] osal~oikudeks jaotamisest.
Seda piirväärtust nimetatakse joone Γ pikkuseks ja tähistatakse s Γ . Seega
nimetatakse joont Γ sirgestuvaks, kui murdjoone P 0 P 1 . . . P n−1 P n pikkusel on
l~oplik piirväärtus vaadeldavas piirprotsessis.
Järgnevas tegeldakse vaid sirgestuvate joontega. Olgu funktsioon f(x, y, z)
määratud joone Γ punktides. Moodustame integraalsumma
n∑
f(Q i )∆s i , (3.9.3)
i=1
kus ∆s i on kaare P i−1 P i pikkus. Märgime, et max ∆s i → 0 ⇒ n → ∞.
Definitsioon 2. Kui eksisteerib piirväärtus
lim
max ∆s i→0
i=1
n∑
f(Q i )∆s i ,
mis ei s~oltu joone Γ osakaarteks jaotamise viisist ja punkti Q i valikust osakaares
P i−1 P i (i = 1; . . . ; n) , siis nimetatakse seda piirväärtust esimest liiki joonintegraaliks
ehk joonintegraaliks kaare pikkuse järgi funktsioonist f mööda joont
Γ ja tähistatakse
∫
f(x, y, z) ds (3.9.4)
Γ