MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

116 PEATÜKK 2. READ
st
Definitsioon 7. Kui
∫ b
a
‖f n − f‖ n→∞
→ 0,
(f n (x) − f(x)) 2 dx n→∞
→ 0,
siis öeldakse, et jada {f n (x)} koondub l~oigul [a, b] keskmiselt funktsiooniks f(x).
Definitsioon 8. Kui
kus S n (x) on funktsionaalrea
‖S n − f‖ n→∞
→ 0,
∞∑
u k (x) (2.11.3)
k=0
osasumma, siis öeldakse, et see rida koondub l~oigul [a, b] keskmiselt funktsiooniks
f(x).
Lause 2. Kui rida (2.11.3), mille liikmed u k (x) on integreeruva ruuduga
funktsioonid l~oigul [a, b] , koondub l~oigul [a, b] keskmiselt funktsiooniks f(x),
siis iga integreeruva ruuduga funktsiooni g(x) korral kehtib valem
∫ x
a
f(t)g(t)dt =
∞∑
k=0
∫ x
a
u k (t)g(t)dt, (2.11.4)
kus v~orduse paremal poolel olev rida koondub muutuja x suhtes ühtlaselt l~oigul
[a, b] .
T~oestuse leiate G. Kangro ~opikust [9], lk 99-100. □
Näide 3. Näitame, et 2π -perioodiline trigonomeetriline süsteem
{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos kx, sin kx, . . .} (2.11.5)
on ortogonaalne l~oigul [−π, π] . Seejärel leiame vastava ortonormeeritud süsteemi.
Näitame k~oigepealt, et selle süsteemi esimene element 1 on ortogonaalne
ülejäänutega. Leiame
∫ π
〈1, cos kx〉 = 1 · cos kx dx k∈N
π
sin kx
= k ∣ =
ja
= 1 k
〈1, sin kx〉 =
−π
−π
(sin kπ − sin (−kπ)) =
2 sin kπ
k
∫ π
−π
1 · sin kx dx k∈N cos kx
= − k ∣
= 1 (− cos kπ + cos (−kπ)) =
k
= 1 (− cos kπ + cos (kπ)) = 0.
k
π
−π
= 0
=