MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

84 PEATÜKK 2. READ
Näide 3. Uurime Cauchy tunnuse abil rea ∑ ∞ k k−1
k=1
k!e k koonduvust.
Tegu on positiivse arvreaga. Kui kasutada lisaks Stirlingi valemit, saame
√
k
lim k√ k
k−1
ak = lim
k→∞ k→∞ k!e k
= (
k
lim
k→∞
√
= lim k
k→∞
lim 1
k→∞
) (
√√
2πk
lim
k→∞
1
√
2πkk
= lim
[
) =
k√
k
k→∞ k
1
√√ √ 2πk
k
k =
k√
k
k→∞
→ 1
]
= 1.
Seega Cauchy tunnus ei ole rakendatav. Vaadake Näites 2.3.3 esitatud lahendust.
♦
2.5 Integraaltunnus
Olgu ∑ ∞
k=1 a k positiivne arvrida. Leidugu selline funktsioon f(x), mille
korral on täidetud tingimused
f(k) = a k , (2.5.1)
ja
Tingimusest (2.5.3) järeldub, et
f(x) ≥ 0 (x ∈ [1; +∞)) (2.5.2)
f(x) ↓ (x ∈ [1; +∞)) . (2.5.3)
f(k) ≥ f(x) ≥ f(k + 1) (x ∈ [k, k + 1] , k ∈ N) . (2.5.4)
f(k)
f(k + 1)
y ✻
.
.
.
.
E .
F
.
.
.
.
.
.
C
.
.
y = f(x)
. . .
A
B
✲
k k + 1 x
Integreerime v~orratuste ahela (2.5.4) iga liiget muutuja x järgi l~oigul [k, k + 1] .
Määratud integraali monotoonsuse p~ohjal leiame
∫ k+1
k
f(k) dx ≥
∫ k+1
k
f(x) dx ≥
∫ k+1
k
D
f(k + 1) dx (k ∈ N)