MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.14. FOURIER’ RIDA TRIGONOMEETRILISE SÜSTEEMI JÄRGI 123
Korrutame skalaarselt seose (2.14.2) m~olemat poolt funktsiooniga 1. Leiame, et
〈
〉
a ∞ 0
〈f(x), 1〉 =
2 + ∑
a k cos kx + b k sin kx, 1 ,
k=1
millest Lause 2.11.2 p~ohjal saame
(
)
〈 a0
〉 ∞∑
〈f(x), 1〉 =
2 , 1 + a k 〈cos kx, 1〉 + b k 〈sin kx, 1〉 ⇒
k=1
[
]
⇒ 〈cos kx, 1〉 k∈N
= 0, 〈sin kx, 1〉 k∈N
= 0, 〈1; 1〉 = 2π ⇒
⇒
∫ π
−πf(x)dx = a 0 π ⇔ a 0 = 1 π
∫ π
−π
f(x)dx.
Järgmise sammuna korrutame skalaarselt seose (2.14.2) m~olemat poolt funktsiooniga
cos mx (m ∈ N) . Saame
(
〈 ∞
〉)
a 0
〈f(x), cos mx〉 =
2 + ∑
a k cos kx + b k sin kx, cos mx ⇒
⇒
(
⇒
⇒
k=1
)
〈 〈f(x), cos mx〉 =
a0
〉
=
2 , cos mx + ∑ ∞
k=1 a ⇒
k 〈cos kx, cos mx〉 + b k 〈sin kx, cos mx〉
[
∫ π
〈1, cos mx〉 m∈N
= 0, 〈cos kx, cos mx〉 k,m∈N
= πδ k,m ,
〈sin kx, cos mx〉 k,m∈N
= 0
−πf(x) cos mx dx = a m π ⇒ a m = 1 π
∫ π
−π
]
⇒
f(x) cos mx dx (m ∈ N) .
Korrutades skalaarselt seose (2.14.2) m~olemat poolt funktsiooniga sin mx
(m ∈ N) , j~ouame tulemuseni
b m = 1 π
∫ π
−π
f(x) sin mx dx (m ∈ N) .
Seega näitasime, et kui l~oigul [a, b] integreeruva ruuduga funktsioon f(x) on
2π-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi koostatud rea (2.14.1) summa,
siis rea (2.14.1) kordajad avalduvad kujul
ja
a k = 1 π
b k = 1 π
∫ π
−π
∫ π
−π
f(x) cos kx dx (k ∈ N 0 ) (2.14.3)
f(x) sin kx dx (k ∈ N) . (2.14.4)