MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.12. VÄLJATEOORIA P~OHIM~OISTED 55
esimene seos peab paika. Leiame viienda seose vasaku poole
rot (uF) = ∇× (uF) = ∇× (uX, uY, uZ) =
∣
=
((uZ) y
− (uY ) z
)
i − ((uZ) x
− (uX) z
) j +
i j k
∂ ∂ ∂
=
∂x ∂y ∂z
uX uY uZ
∣
((uY ) x
− (uX) y
)
k =
= (u y Z + uZ y − u z Y − uY z ) i − (u x Z + uZ x − u z X − uX z ) j+
+ (u x Y + uY x − u y X − uX y ) k
ja siis uuritava seose parema poole
u rotF+ (grad u) × F =
= u (Z y − Y z ) i + u (X z − Z x ) j + u (Y x − X y ) k+
∣
= (uZ y − uY z ) i + (uX z − uZ x ) j + (uY x − uX y ) k+
i j k
u x u y u z
X Y Z
+ (u y Z − u z Y ) i − (u x Z − u z X) j + (u x Y − u y X) k =
∣ =
= (u y Z + uZ y − u z Y − uY z ) i − (u x Z + uZ x − u z X − uX z ) j+
+ (u x Y + uY x − u y X − uX y ) k.
Seega kehtib viies seos.
□
Definitsioon 6. Funktsiooni u = f (x, y, z) suunatuletiseks punktis P (x, y, z)
vektori l = (l x , l y , l z ) suunas nimetatakse suurust
f (x + tl x , y + tl y , z + tl z ) − f (x, y, z)
lim
(1.12.6)
t→0+
√(tl x ) 2 + (tl y ) 2 + (tl z ) 2
ja tähistatakse sümboliga ∂f (x, y, z) , st
∂l
∂f
def. f (x + tl x , y + tl y , z + tl z ) − f (x, y, z)
(x, y, z) = lim
.
∂l t→0+
√(tl x ) 2 + (tl y ) 2 + (tl z ) 2
−→
Kui tähistada Q(x + tl x , y + tl y , z + tl z ), siis P Q
∣ −→ ∣ ∣∣ P Q =
√(tl x ) 2 + (tl y ) 2 + (tl z ) 2 ning
= (tlx , tl y , tl z ) ja
∂f
∂l (P ) =
lim
Q→P
f (Q) − f (P )
∣ −→ ∣ ∣∣
, (1.12.7)
P Q