MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.2. POSITIIVSETE ARVRIDADE V~ORDLUSTUNNUSED 75
on koonduv, kusjuures rea (2.1.9) summaks on ridade (2.1.1) ning (2.1.8) summade
summa. Seega oleme t~oestanud Lause 4 esimese osa. Lause 4 teine osa
järeldub v~orduste ahelast
S γa
n
def.
=
n∑
γa k = γ
k=1
n∑
a k = γSn.
a
k=1
□
2.2 Positiivsete arvridade v~ordlustunnused
Definitsioon 1. Kui a k ≥ 0 (k ∈ N) , siis arvrida
∞∑
a k (2.2.1)
nimetatakse positiivseks arvreaks.
Tähistame sümboliga S a n rea (2.2.1) n-ndat osasummat. Leiame, et
k=1
S a n+1 = S a n + a n+1 ≥ S a n.
Seega on positiivse arvrea (2.2.1) osasummmade jada {S a n} monotoonselt kasvav,
st S a n ↑ . Monotoonselt kasvav jada koondub aga parajasti siis, kui see jada on
ülalt t~okestatud. Formuleerime selle tulemuse.
Lause 1. Positiivne arvrida (2.2.1) koondub parajasti siis, kui selle rea osasummade
jada on ülalt t~okestatud, ja hajub parajasti siis, kui osasummade jada
on ülalt t~okestamata.
Seega
∞∑
a k ∈ c ⇔ (∃ M > 0 : Sn a ≤ M (n ∈ N)) ,
k=1
∞∑
a k /∈ c ⇔ (∄ M > 0 : Sn a ≤ M (n ∈ N)) .
k=1
Olgu ka
positiivne arvrida.
∞∑
b k (2.2.2)
k=1