MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

32 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
ilmutamata kujul. Olgu punkt P (x, y) funktsiooni y = f(x) graafikul ja olgu
funktsioon F diferentseeruv punktis P. Anname muutujale x sellise muudu ∆x,
et x + ∆x kuulub funktsiooni f(x) määramispiirkonda. Saame leida muutuja x
muudule ∆x vastava muutuja y muudu ∆ ∆x y = f(x + ∆x) − f(x). Sel korral
F (x + ∆x, y + ∆ ∆x y) = 0. (1.6.2)
Olgu argumentide (x, y) muuduvektorile (∆x, ∆ ∆x y) vastav kahe muutuja funktsiooni
F (x, y) muut
∆F = F (x + ∆x, y + ∆ ∆x y) − F (x, y) .
Ühelt poolt on seoste (1.6.1) ja (1.6.2) p~ohjal ∆F = 0. Teisalt eeldusel, et
funktsioon F on diferentseeruv punktis (x, y) , leiame seose (1.4.2) p~ohjal
∆F = F x (x, y) ∆x + F y (x, y) ∆ ∆x y + γ,
kusjuures suurus γ on k~orgemat järku l~opmata väike, v~orreldes suurusega
√
(∆x) 2 + (∆ ∆x y) 2 . Seega
millest leiame, et
kusjuures
γ
∣(∆x) F y (x, y) ∣ =
Saame
≤
y ′ ∆ ∆x y
= lim
∆x→0 ∆x
= lim
∆x→0
F x (x, y) ∆x + F y (x, y) ∆ ∆x y + γ = 0,
∆ ∆x y
∆x = −F x (x, y)
F y (x, y) − γ
(∆x) F y (x, y) ,
|γ|
√(∆x) 2 + (∆ ∆x y) 2 ·
|γ|
√(∆x) 2 + (∆ ∆x y) 2 ·
Vormistame t~oestatud tulemuse.
√
(∆x) 2 + (∆ ∆x y) 2
√
(
− F x (x, y)
F y (x, y) −
1 +
|∆x|
( ) 2 ∆∆x y
∆x
|F y (x, y)|
·
1
|F y (x, y)| ≤
∆x→0
→ 0.
)
γ
= − F x (x, y)
(∆x) F y (x, y) F y (x, y) .
Lause 1. Kui funktsioon y = f(x) on antud ilmutamata kujul v~orrandiga
(1.6.1) ja P (x, y) on selle v~orrandiga esitatud joone punkt ja funktsioon F on
diferentseeruv punktis P ja selles punktis F y ≠ 0, siis
dy
dx = −F x (x, y)
F y (x, y)
(1.6.3)