MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.19. ÜLESANDED 145
Ülesannetes 96–99 leidke Maclaurini arenduse abil täpsusega 10 −4 . Millist järku
osasumma √ annab juba sellise täpsuse?
96. e3 . V: 4. 481 7, 9. 97. sin 0.1 . V: 0.0998, 3.
10
98. cos 0.2 . V: 0. 980 0, 2. 99.
√ 1000. V: 1. 995 3, 1.
Ülesannetes 100–111 arendage funktsioon f(x) Fourier’ ritta vahemikus (a, b)
2l-perioodilise trigonomeetrilise süsteemi järgi.
100. f(x) = e −x , (−π; π) , l = π.
V: sh π
π
+ 2 sh π ∞∑ (−1) k
(cos kx + k sin kx) .
π k=1 1 + k2 101. f(x) = e{
ax , (−π; π) , l = π.
}
2sh (aπ) 1
V:
π 2a + ∑ ∞ (−1) k
k=1 a 2 + k 2 (a cos kx − k sin kx) .
∑
102. f(x) = x, (−π; π) , l = π. V: 2 ∞ (−1) k+1
sin kx.
k=1 k
103. f(x) = x 2 , (−π; π) , l = π. V: π2
3 + 4 ∑ ∞ (−1) k
k 2 cos kx.
104. f(x) = sh x, (−π; π) , l = π. V: 2 sh π ∞∑ (−1) k+1 k
π k=1 k 2 sin kx.
(
+ 1
)
105. f(x) = ch x, (−π; π) , l = π. V: sh π ∑
1 + 2 ∞ (−1) k
π
k=1 k 2 + 1 cos kx .
2 sin aπ ∞∑ (−1) k k
106. f(x) = sin ax, (−π; π) , l = π. V:
π k=1 a 2 sin kx.
− k2 (
2a sin aπ 1
107. f(x) = cos ax, (−π; π) , l = π. V:
π 2a 2 + ∑ ∞
k=1
∞∑ sin kx
108. f(x) = (π − x) /2, (0; 2π) , l = π. V: .
k=1 k
109. f(x) = sgn x, (−1; 1) , l = 1. V: 4 ∞∑ sin ((2k + 1) πx)
.
π k=0 2k + 1
110. f(x) = 1 − |x| , (−1; 1) , l = 1. V: 0.5 + 4 ∞∑
π 2
k=1
k=0
)
(−1) k k
a 2 − k 2 cos kx .
cos ((2k + 1) πx)
(2k + 1) 2 .
111. f(x) = H(x) − 2H(x − 0.5) + H(x − 1), (−1; 1) , l = 1, kus H(x) on
Heaviside’i funktsioon.
V: 1 ∑ 2 sin kπ 1 + (−1) k − 2 cos kπ
∞ 2
=1
cos (kπx) +
2 sin (kπx) .
π k
k
112. Arendage funktsioon x koosinusritta vahemikus (0; π) 2π-perioodilise trigonomeetrilise
süsteemi järgi. V: π 2 − 4 ∑ ∞ cos (2k − 1) x
k=1
π (2k − 1) 2 .
113. Arendage funktsioon (π − x) /2 koosinusritta vahemikus (0; π) 2π-perioodilise
trigonomeetrilise süsteemi järgi. V: π 4 + 2 ∑ ∞ cos (2k + 1) x
k=0
π (2k + 1) 2 .