MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

72 PEATÜKK 2. READ
mille t~oestame induktsioonimeetodil. Et hüpotees on t~oene n = 1 korral, siis
induktsioonibaas on olemas. Näitame induktsioonisammu lubatavust. Selleks
uurime suurust S n+1 . Tulemuseks saame
1
S n+1 = S n + arctan
2 (n + 1) 2 = arctan n
n + 1 + arctan 1
2 (n + 1) 2 =
= arctan
= arctan
n
n + 1 + 1
2 (n + 1) 2
1 − n
n + 1 ·
n + 1
(n + 1) + 1 ,
= arctan n + 1
1
2 (n + 1) 2
n + 2 =
st induktsioonisamm on lubatav ja püstitatud hüpotees on t~oene. Seega
S = lim S n = lim arctan n
n→∞ n→∞ n + 1 = arctan 1 = π 4 .
♦
Rea (2.1.1) osasummad S n−1 ja S n rahuldavad seost
Kui rida (2.1.1) koondub ja selle rea summa on S, siis
S n − S n−1 = a n . (2.1.3)
lim S n =
n→∞
ja seostest (2.1.3) ning (2.1.4) järeldub, et
S~onastame saadud tulemuse.
lim S n−1 = S (2.1.4)
n→∞
lim a n = 0. (2.1.5)
n→∞
Lause 1. Koonduva rea (2.1.1) üldliige a n rahuldab seost (2.1.5).
Seega
∞∑
a k ∈ c ⇒
k=1
lim a n = 0.
n→∞
Tingimust (2.1.5) nimetatakse rea (2.1.1) koonduvuse tarvilikuks tingimuseks.
Tingimus (2.1.5) ei osutu piisavaks. Näites 3 esitatud harmooniline rida on hajuv
0 < α < 1 korral. Ometi on selle rea korral täidetud rea koonduvuse tarvilik
0