MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

182 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Seejuures ψ 1 (y, z) = √ z − y 2 ja ψ 2 (y, z) = 1.
Märkuse 1 p~ohjal saame
Lause 3.5.1 viienda väite ja
∫ 1 ∫ y2 ∫ 1
∫ 1
I = dy dz f (x, y, z) dx + dy
0 0 0
0
∫
y 2 +1
dz
∫ 1
√
y 2 z−y 2
f (x, y, z) dx.
Kui välimine integraal v~otta muutuja z järgi, siis integreerimispiirkond Ω on
püstsilindritega, mille moodustaja on paralleelne x-teljega, jaotatav kolmeks
(miks?) normaalseks osapiirkonnaks. Neist esimese osapiirkonna projektsioon
yz-tasandile on piiratud joontega z = 0, z = 1, y = 0, y = √ z (valemi (3.6.5)
analoogis a 1 = 0, a 2 = 1, ϕ 1 (z) = 0, ϕ 2 (z) = √ z), kusjuures ψ 1 (y, z) =
√
z − y2 ja ψ 2 (y, z) = 1. Teise osapiirkonna projektsioon yz-tasandile on piiratud
joontega z = 0, z = 1, y = √ z, y = 1 (valemi (3.6.5) analoogis a 1 = 0,
a 2 = 1, ϕ 1 (z) = √ z, ϕ 2 (z) = 1), kusjuures ψ 1 (y, z) = 0 ja ψ 2 (y, z) = 1. Kolmanda
osapiirkonna projektsioon yz-tasandile on piiratud joontega z = 1, z = 2,
y = √ z − 1, y = 1 (valemi (3.6.5) analoogis a 1 = 1, a 2 = 2, ϕ 1 (z) = √ z − 1,
ϕ 2 (z) = 1), kusjuures ψ 1 (y, z) = √ z − y 2 ja ψ 2 (y, z) = 1. Saame
∫ 1
I = dz
0
√
∫ z ∫ 1
dy
√
0 z−y 2
f (x, y, z) dx +
∫ 1
0
∫ 1
dz dy
√ z
∫ 1
0
f (x, y, z) dx+
∫ 2 ∫ 1 ∫ 1
+ dz
1
dy
√ √ z−1 z−y 2
f (x, y, z) dx.
Leidke ülejäänud kolm järjekorda.
♦
3.7 Muutujate vahetus kolmekordses integraalis
Vaatleme muutujate vahetust
⎧
⎨
⎩
kolmekordses integraalis ∫∫∫
x = x (u, v, w)
y = y (u, v, w)
z = z (u, v, w)
Ω
(u, v, w) ∈ ∆ (3.7.1)
f(x, y, z)dxdydz. Eeldame, et teisendus (3.7.1),
mis teisendab uvw-ruumis asetseva piirkonna ∆ xyz-ruumis paiknevaks piirkonnaks
Ω, on regulaarne, st
1) teisendus (3.7.1) on üksühene,
2) funktsioonide x (u, v, w) , y (u, v, w) ja z (u, v, w) esimest järku osatuletised
on pidevad piirkonnas ∆,