MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

More documents

Recommendations

Info

162 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS y ✻ . y = x + 2 4 . .. 3 . y = x 2 . .. D . . . . .. .. . .. .. .. .. .. .. ✲ x .. .. ..... −1 1 2 3 Et { y = x 2 y = x + 2 ⇒ P 1 (−1; 1) , P 1 (2; 4) , siis valemi (3.4.1) abil saame ∫∫ ∫ 2 x+2 ∫ ∫ 2 ( S D = dxdy = dx dy = 2 + x − x 2 ) dx = D −1 x 2 −1 ( 1 = 2 x2 + 2x − 1 )∣ ∣∣∣ 2 3 x3 = 9 2 . ♦ −1 Näide 2. Leiame joontega √ x a + √ y b = 1 (a, b > 0) , x = 0, y = 0 piiratud piirkonna D pindala. Skitseerime piirkonna D y ✻ b.. . . ... . .. . .. . .. D . . .. . . .. .. .. .. .. a ✲x
3.4. KAHEKORDSE INTEGRAALI RAKENDUSED 163 Valemi (3.4.1) abil saame ⎡ { ∫∫ x = aρ cos kasutame muutujate vahetust 4 ϕ S D = dxdy = ⎢ y = bρ sin 4 ϕ ⎣ ∆ = {(ρ, ϕ) | (0 ≤ ρ ≤ 1) ∧ (0 ≤ ϕ ≤ π/2)} , D D ←→ ∆, J = 4abρ cos 3 ϕ sin 3 ϕ ∫ = π/2 0 = ab 4 dϕ ∫ π/2 0 = − ab 8 ∫ 1 0 ∫ 4abρ cos 3 ϕ sin 3 ϕ dρ = 2ab sin 3 2ϕ dϕ = − ab 8 ∫ π/2 ( )∣ cos 2ϕ − cos3 2ϕ ∣∣∣ π/2 3 0 0 π/2 0 cos 3 ϕ sin 3 ϕ dϕ = ( 1 − cos 2 2ϕ ) d (cos 2ϕ) = = ab 8 · 4 3 = ab 6 . ♦ ⎤ ⎥ ⎦ = 3.4.2 Keha ruumala arvutamine Olgu keha määratud ruumis R 3 piirkonnaga Ω. Kui f (P ) ≥ 0 (P ∈ D) ja f (P ) ∈ C (D) ning Ω = {(x, y, z) | ((x, y) ∈ D) ∧ (0 ≤ z ≤ f (x, y))} , siis Märkuse 3.1.2 p~ohjal avaldub piirkonna Ω ruumala V Ω kujul ∫∫ V Ω = f(P )dS. (3.4.2) T~oestage järgmine väide. D Lause 1. Kui f (P ) , g (P ) ∈ C (D) ja g (P ) ≥ f (P ) (P ∈ D) ning Ω = {(x, y, z) | ((x, y) ∈ D) ∧ (f (x, y) ≤ z ≤ g (x, y))} , siis piirkonna Ω ruumala V Ω avaldub kujul ∫∫ V Ω = (g (P ) − f(P )) dS. (3.4.3) D Näide 3. Leiame pindadega z = x 2 +y 2 ja z = x+y määratud keha ruumala. Olgu f (x, y) = x 2 + y 2 ja g (x, y) = x + y. Kuna { [ ] z = x 2 + y 2 elimineerime ⇒ ⇒ z = x + y muutuja z ⇒ x 2 + y 2 − x − y = 0 ⇔ ( x − 1 2 ( + y − 2) 2) 1 2 = 1 2 ,
Page 1 and 2:
http://www.ttu.ee http://www.staff.
Page 3:
Eess~ona Käesolev ~oppevahend on j
Page 6 and 7:
2.12 Fourier’ rida ortogonaalse s
Page 8 and 9:
8 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
70 PEATÜKK 2. READ Tähistame süm
Page 72 and 73:
72 PEATÜKK 2. READ mille t~oestame
Page 74 and 75:
74 PEATÜKK 2. READ Kui kahele real
Page 76 and 77:
76 PEATÜKK 2. READ Lause 2. Kui po
Page 78 and 79:
78 PEATÜKK 2. READ Näide 3. Uurim
Page 80 and 81:
80 PEATÜKK 2. READ Kui q > 1, siis
Page 82 and 83:
82 PEATÜKK 2. READ Märgime, et n!
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
88 PEATÜKK 2. READ Et S 2n = S 2n+
Page 90 and 91:
90 PEATÜKK 2. READ Üldjuhul lahut
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
94 PEATÜKK 2. READ 2.8 Abeli teore
Page 96 and 97:
96 PEATÜKK 2. READ arvrea ∑ ∞
Page 98 and 99:
98 PEATÜKK 2. READ koonduvust. Kas
Page 100 and 101:
100 PEATÜKK 2. READ Seega on antud
Page 102 and 103:
102 PEATÜKK 2. READ mida nimetatak
Page 104 and 105:
104 PEATÜKK 2. READ (1 + x) α = 1
Page 106 and 107:
106 PEATÜKK 2. READ Näide 5. Aren
Page 108 and 109:
108 PEATÜKK 2. READ 2.10.3 Diferen
Page 110 and 111:
110 PEATÜKK 2. READ ja y (2k+1) =
Page 112 and 113: 112 PEATÜKK 2. READ Seega saame di
Page 114 and 115: 114 PEATÜKK 2. READ ja ∫ 2 1 ( )
Page 116 and 117: 116 PEATÜKK 2. READ st Definitsioo
Page 118 and 119: 118 PEATÜKK 2. READ Avaldame eleme
Page 120 and 121: 120 PEATÜKK 2. READ 2.12 Fourier
Page 122 and 123: 122 PEATÜKK 2. READ ja v~oi Valiku
Page 124 and 125: 124 PEATÜKK 2. READ Kui l~oigul [
Page 126 and 127: 126 PEATÜKK 2. READ 2 ◦ Vaatleme
Page 128 and 129: 128 PEATÜKK 2. READ Seega saame tu
Page 130 and 131: 130 PEATÜKK 2. READ Näide 2. Leia
Page 132 and 133: 132 PEATÜKK 2. READ siis süsteem
Page 134 and 135: 134 PEATÜKK 2. READ 2.17 Fourier
Page 136 and 137: 136 PEATÜKK 2. READ Valemi (2.17.4
Page 138 and 139: 138 PEATÜKK 2. READ nimetatakse fu
Page 140 and 141: 140 PEATÜKK 2. READ Fourier’ sii
Page 142 and 143: 142 PEATÜKK 2. READ 34. ∑ ( )
Page 144 and 145: 144 PEATÜKK 2. READ ∞∑ 78. f(x
Page 146 and 147: 146 PEATÜKK 2. READ 114. Arendage
Page 148 and 149: 148 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 150 and 151: 150 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 152 and 153: 152 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 154 and 155: 154 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS R~
Page 156 and 157: 156 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 160 and 161: 160 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS sa
Page 164 and 165: 164 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS si
Page 166 and 167: 166 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 172 and 173: 172 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ab
Page 174 and 175: 174 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS st
Page 176 and 177: 176 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS La
Page 182 and 183: 182 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Se
Page 190 and 191: 190 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS I
Page 192 and 193: 192 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS eh
Page 194 and 195: 194 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Sa
Page 196 and 197: 196 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ku
Page 202 and 203: 202 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS se
Page 204 and 205: 204 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 208 and 209: 208 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 212 and 213:
212 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 214 and 215:
214 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ja
Page 216 and 217:
216 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 218 and 219:
218 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ka
Page 220 and 221:
220 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 222 and 223:
222 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Page 224 and 225:
224 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ü
Page 226 and 227:
226 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 68
Page 228 and 229:
228 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 10
Page 230 and 231:
230 KIRJANDUS [15] L~ohmus, A., Tam
Page 232 and 233:
232 INDEKS graafik, 12 ilmutamata k
Page 234 and 235:
234 INDEKS normaalvektor, 36 pindal
show all

MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?