MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

56 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
kus punkt Q paikneb punktist P vektori l suunas lähtuval kiirel. Seega näitab
funktsiooni f suunatuletis punktis P funktsiooni f muutumise kiirust selles
punktis vektori l suunas.
Kui funktsioon f on diferentseeruv punktis (x, y, z) , siis
f (x + tl x , y + tl y , z + tl z ) − f (x, y, z) =
kusjuures
lim
t→0+
= f x (x, y, z) tl x + f y (x, y, z) tl y + f z (x, y, z) tl z + δ,
δ
= lim
√(tl x ) 2 + (tl y ) 2 + (tl z ) 2
t→0+
δ
√
= 0,
t lx 2 + ly 2 + lz
2
ja suunatuletis ∂f
∂l
avaldub kujul
∂f
(x, y, z) = lim
f (x + tl x , y + √
tl y , z + tl z ) − f (x, y, z)
∂l t→0+
t lx 2 + ly 2 + lz
2
= lim
f x (x, y, z) tl x + f y √
(x, y, z) tl y + f z (x, y, z) tl z + δ
t→0+
t lx 2 + ly 2 + lz
2
=
=
= f x (x, y, z) · l
√
x
lx 2 + ly 2 + lz
2
+ f y (x, y, z) · l
√
y
lx 2 + ly 2 + lz
2
Olgu l o vektori l suunaline ühikvektor, st
l o = 1
|l| l = 1
|l| (l x, l y , l z ) =
⎛
l x
= ⎝√
,
lx 2 + ly 2 + lz
2
= (cos α, cos β, cos γ) ,
1
√
lx 2 + ly 2 + lz
2
l y
√
l 2 x + l 2 y + l 2 z
+ f z (x, y, z) · l
√
z
.
lx 2 + ly 2 + lz
2
(l x , l y , l z ) =
l z
⎞
, √ ⎠ =
lx 2 + ly 2 + lz
2
kus suurused cos α, cos β ja cos γ on vektori l suunakoosinused. Tuletame
meelde, et vektori suunakoosinused on koosinused nurkadest, mille see vektor
moodustab vastavalt x-telje, y-telje ja z-telje positiivse suunaga,
kusjuures kehtib seos
Seega saame suunatuletise ∂f
∂l
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1.
avaldada kujul
∂f
∂l (x, y, z) = f x (x, y, z) cos α + f y (x, y, z) cos β + f z (x, y, z) cos γ =
= (grad f(x, y, z)) · l o .