MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.4. KAHEKORDSE INTEGRAALI RAKENDUSED 167
Märkus 1. Lausest 3 järeldub Lause 2.
T~oestus. Pinna v~orrandit z = f (x, y) ((x, y) ∈ D) saab esitada parameetrilisel
kujul (3.4.6), valides
x = u, y = v, z = f(u, v) ((u, v) ∈ ∆ = D) .
Sel korral saame
x u = 1, x v = 0, y u = 0, y v = 1
ja
x u y v − x v y u = 1, z u y v − z v y u = z u = z x , z v x u − z u x v = z v = z y
ning väide (3.4.7) omandab kuju (3.4.4).
Märkus 2. Kui parameetriliste v~orranditega (3.4.6) antud sileda pinna Σ
korral on vastavus piirkonna ∆ ja pinna Σ vahel üksühene ja muutuja z on
avaldatav muutujate x ja y kaudu z = z(x, y), siis väide (3.4.4) on esitatav
kujul (3.4.7).
T~oestus. Antud eeldustel on täidetud Lause 2 tingimused (veenduge!). Leiame
z = z (x, y) = z (x (u, v) , y (u, v)) ⇒ [rakendame Lauset 1.5.2] ⇒
⎧
⎡
⎨ z u = z x x u + z y y u , z
⎢ x = z ⎤
uy v − z v y u
,
⇒
⇒
x
⎣ u y v x v y u
⎩
z v = z x x v + z y y v
z y = z ⎥
vx u − z u x v
⎦ .
.
x u y v − x v y u
□
Et teisenduse {
x = x (u, v)
y = y (u, v)
(u, v) ∈ ∆ (3.4.8)
jakobiaan J(u, v) avaldub kujul
siis Lausete 2 ja 3.3.1 p~ohjal saame
J(u, v) = x u y v − x v y u ,
∫∫
S Σ =
D
∫∫
=
∆
∫∫
=
∆
√
1 + (f x (x, y)) 2 + (f y (x, y)) 2 dxdy =
√
( ) 2 ( ) 2 zu y v − z v y u zv x u − z u x v
1 +
+
|J| dudv =
x u y v − x v y u x u y v − x v y u
√
(x u y v − x v y u ) 2 + (z u y v − z v y u ) 2 + (z v x u − z u x v ) 2 dudv. □