MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

160 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
saame
∫∫
D
arctan y ∫π/3
x dx dy = dϕ
π/6
∫ 3
1
ρ arctan ρ sin ϕ
ρ cos ϕ dρ =
∫π/3
= dϕ
= 1 4
π/6
∫ 3
1
∫π/3
ρ ϕ dρ = ϕdϕ
π/6
∫ 3
1
ρ dρ =
( ) π
2
9 − π2
(9 − 1) = 1 36
6 π2 . ♦
Näide 2. Leida kahe ringi x 2 + y 2 ≤ 4 x ja x 2 + y 2 ≤ 2y ühisosa D pindala.
Skitseerime D
y
✻
ρ = 2 sin ϕ ✁✁ ϕ = arctan 2
.
.
.
✁ ✁ ✁
.
.
x 2 + y 2 ≤ 2y
✁ ✁ ✁
1
D
✁ ✁ ✁ x 2 + y 2 ≤ 4x
. ..
. ..
. ..
. .. . ..
.. . .. . .. .
.
.. .. .. .. ..
.
.
.
.
.
.. ...... .
...... .
.
.
.. .
.. .
.. .. .
..
.. .
.
. 1 2 3
..
.
..
. ..
. ..
. ..
. ..
. ..
. .. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ρ = 4 cos ϕ
✲x
Integraal ∫∫ dx dy annab Lause 3.1.2 p~ohjal piirkonna D pindala. Kontrollige,
D
et ringjoonte x 2 +y 2 = 4 x ja x 2 +y 2 = 2y v~orrandeiks on polaarkoordinaatides
vastavalt ρ = 4 cos ϕ ja ρ = 2 sin ϕ. Et
4 cos ϕ = 2 sin ϕ ⇒ ϕ = arctan 2,
siis v~oime ringide ühisosa jaotada kiirega ϕ = arctan 2 kaheks osapiirkonnaks.
Esimene neist on määratud kiirtega ϕ = 0 ja ϕ = arctan 2 ning joontega ρ = 0 ja
ρ = 2 sin ϕ. Teine on määratud kiirtega ϕ = arctan 2 ja ϕ = π/2 ning joontega
ρ = 0 ja ρ = 4 cos ϕ.