MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

50 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
käitumist. Et du
dt = 12t − 2 ja 12t − 2 = 0 ⇔ t = 1 6 ning d2 u
dt 2
kohal t = 1 6
= 12 > 0, siis
on funktsioonil lokaalne miinimum. Seega saame tulemuseks, et
(
min x 2 + y 2 + z 2) = u| P = 3
x−y+z+2=0, x+y=1
2 ,
(
x 2 + y 2 + z 2) = +∞. ♦
sup
x−y+z+2=0, x+y=1
1.11 Globaalne ekstreemum
Uurime diferentseeruva funktsiooni u = f(x 1 , . . . , x n ) ekstremaalseid väärtusi
kinnisel sidusal t~okestatud hulgal Ω. Tähistame sümboliga ∂ Ω selle hulga
raja. Funktsiooni f diferentseeruvusest hulgal Ω järeldub selle funktsiooni pidevus
sel hulgal. Et kinnisel sidusal t~okestatud hulgal pidev funktsioon omandab
sel hulgal vähima ja suurima väärtuse, siis
∃ max f(x 1, . . . , x n ) ∧ ∃ min f(x 1, . . . , x n ).
(x 1,...,x n)∈Ω (x 1,...,x n)∈Ω
Kinnisel sidusal t~okestatud hulgal Ω diferentseeruv funktsioon saab ekstremaalse
väärtuse omandada kas hulka Ω kuuluvas funktsiooni f statsionaarses punktis
v~oi hulga Ω rajapunktis. Seega tuleb
1) leida k~oik hulka Ω kuuluvad funktsiooni f statsionaarsed punktid P i
(1 ≤ i ≤ k) ja arvutada neis funktsiooni väärtused f(P i ) (1 ≤ i ≤ k) ;
2) leida raja ∂ Ω punktid P i (k + 1 ≤ i ≤ m) , milles funktsioon f v~oib
omandada ekstremaalse väärtuse, ja arvutada neis funktsiooni väärtused f(P i )
(k + 1 ≤ i ≤ m) ;
3) leida min
1≤i≤m f(P i) ja max
1≤i≤m f(P i).
Näide 1. Leiame funktsiooni z = x 2 − y 2 ekstremaalsed väärtused sirgetega