MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.4. KAHEKORDSE INTEGRAALI RAKENDUSED 171
lim
max d i→0
i=1
n∑
ξi 2 ρ (ξ i , η i ) ∆S i .
Seega
∫∫
I x =
D
∫∫
I y =
D
y 2 ρ (P ) dS, (3.4.15)
x 2 ρ (P ) dS. (3.4.16)
Kuna kooriku inertsmoment I O nullpunkti O suhtes avaldub kujul
I O = I x + I y , (3.4.17)
siis
∫∫
I O =
D
(
x 2 + y 2) ρ (P ) dS. (3.4.18)
Lause 4. Kui koorik on xy-tasandi piirkonnas D ja kooriku pindtihedus
ρ(x, y) ∈ C (D) , siis selle kooriku mass m on leitav valemi (3.4.9) abil, staatilised
momendid M x ja M y valemite (3.4.10) ja (3.4.11) abil, massikeskme koordinaadid
x c ja y c kas valemite (3.4.12) v~oi valemite (3.4.13) ja (3.4.14) abil ning inertsmomendid
I x , ja I y valemite (3.4.15) ja (3.4.16) abil ning I O valemi (3.4.17) v~oi
valemi (3.4.18) abil.
Näide 7. Olgu koorik xy-tasandi piirkonnas D, mis on määratud joontega
y = x 2 ja y = x + 2. Olgu ρ(x, y) = 1 + x + y 2 . Leiame selle kooriku massi,
staatilised momendid, massikeskme koordinaadid ja inertsmomendid x-telje, y-
telje ning nullpunkti suhtes.
Piirkond D on skitseeritud Näites 1. Kasutame Lauset 4. Kooriku massi
saame valemi (3.4.9) abil
∫∫
m = ρ (P ) dS =
=
=
D
∫ 2
−1
∫ 2
x+2 ∫
(
dx 1 + x + y
2 ) dy =
−1 x 2
( 14
3 + 7x + 2x2 − 2 3 x3 − 1 )
3 x6 dx =
( 14
3 x + 7 2 x2 + 2 3 x3 − 1 6 x4 − 1 ) 2
21 x7 = 153
−1
7 .
Staatilised momendid M x ja M y on leitavad vastavalt valemite (3.4.10) ja (3.4.11)