MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
3.14. GAUSS-OSTROGRADSKI VALEM. STOKESI VALEM 217<br />
mille normaalvektor moodustab z-telje positiivse suunaga teravnurga<br />
x ...<br />
z<br />
✻<br />
R z = √ R 2 − x 2 − y 2<br />
.. .. .<br />
.<br />
.. .<br />
.. Σ .<br />
.. .<br />
. .<br />
✟ ✟✯ n<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
R ✲<br />
y<br />
.<br />
.<br />
..<br />
pr xy Σ .<br />
.<br />
.<br />
R<br />
.<br />
... .<br />
.. .. .<br />
.<br />
.<br />
Et z = √ R 2 − x 2 − y 2 , siis valemi (3.13.5) abil saame<br />
∫∫<br />
z 2 dx dy = + ∫∫<br />
Σ<br />
=<br />
π/2<br />
∫<br />
0<br />
R∫<br />
dϕ<br />
0<br />
pr xyΣ<br />
(<br />
R 2 − x 2 − y 2) dx dy =<br />
ρ ( R 2 − ρ 2) dρ = πR4<br />
8 . ♦<br />
3.14 Gauss-Ostrogradski valem. Stokesi valem<br />
Selles jaotises esitame kaks väidet t~oestuseta. Vajaduse korral leiate t~oestuse<br />
~opikust [9] .<br />
Lause 1 (Gauss-Ostrogradski valem). Kui piirkonna Ω rajapind Σ on tükiti<br />
sile ja funktsioonid X, Y, Z ning nende osatuletised X x , Y y , Z z on pidevad<br />
piirkonnas Ω, siis<br />
∫∫<br />
Σ<br />
∫∫∫<br />
Fn dσ =<br />
Ω<br />
div F dV, (3.14.1)<br />
kus pindintegraal on v~oetud üle Σ välise pinnapoole.<br />
Näide 1. Leiame vektori F = (xy, z + x, y − z) voo läbi tasanditega x = 0,<br />
x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1 määratud ühikkuubi Σ välise pinnapoole.
Change language