MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.6. KOLMEKORDNE INTEGRAAL RISTKOORDINAATIDES 181
=
∫ 2
−2
[
=
∫2π
= dϕ
0
√
4−x 2
∫ (
dx 2 √ x 2 + y 2 − x 2 − y 2) dy =
− √ 4−x 2
kasutame polaarkoordinaate ja valemit (3.3.4),
x 2 + y 2 = 4 ←→ ρ = 2, α = 0, β = 2π, ρ 1 (ϕ) = 0, ρ 1 (ϕ) = 2
∫ 2
0
(
2ρ 2 − ρ 3) dρ = 2π
( 16
3 − 4 )
= 8 3 π. ♦
]
=
3 0 Integreerimispiirkond Ω on püstsilindritega, mille moodustaja on paralleelne
kas x-, y- v~oi z-teljega, jaotatav l~oplikuks arvuks normaalseteks osapiirkondadeks.
Sel korral v~oib t~oestuseks kasutada kolmekordse integraali aditiivsust
integreerimispiirkonna järgi (Lause 3.5.1 viiendat väidet) ja iga liidetava korral
rakendada kas Lauset 1 v~oi Lauset 2.
Näide 4. Muudame integreerimisjärjekorda integraali
I =
∫ 1
0
dx
∫ 1
0
dy
∫
x 2 +y 2
0
f (x, y, z) dz
korral.
Antud integraalis on rajad paigutatud valemi (3.6.3) p~ohjal. Seega a 1 = 0,
a 2 = 1, ϕ 1 (x) = 0, ϕ 2 (x) = 1, ψ 1 (x, y) = 0 ja ψ 2 (x, y) = x 2 + y 2 . Skitseerime
integreerimispiirkonna Ω ja selle projektsiooni pr yz Ω yz-tasandile
.. .
1
✠
x
z
✻
.
. .
.
..
. .
.
. .
.
. . .
.
.
Ω
1
y
✲
z
2
z = y 2 .
+ 1.
.
.
.
.
1 .. . . .
.
pr yz Ω
0
✻
z = y 2
1
y
✲
Kui välimine integraal v~otta muutuja y järgi, siis integreerimispiirkond Ω
on püstsilindritega, mille moodustaja on paralleelne x-teljega, jaotatav kaheks
(miks?) normaalseks osapiirkonnaks. Neist esimese osapiirkonna projektsioon
yz-tasandile on piiratud joontega y = 0, y = 1, z = 0, z = y 2 (valem (3.6.5),
a 1 = 0, a 2 = 1, ϕ 1 (y) = 0, ϕ 2 (y) = y 2 ). Lisaks ψ 1 (y, z) = 0 ja ψ 2 (y, z) = 1.
Teise osapiirkonna projektsioon yz-tasandile on piiratud joontega y = 0, y = 1,
z = y 2 , z = y 2 + 1 (valem (3.6.5), a 1 = 0, a 2 = 1, ϕ 1 (y) = y 2 , ϕ 2 (y) = y 2 + 1).