MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.10. TEIST LIIKI JOONINTEGRAAL 195
Skitseerime joone Γ
.
.
.
.. .
.. .........
.
. ..
.
.
.
.
z
✻
.
4π
.
.
.
.
.
.
.
..
.. .........
.
..
....... .. .. ..
.. .. . ..
..
..
............
.
.. .. .. ....... ... ..
✟ ✟✟✟✟✟✯y
.. .. ..
..
Γ
. .. . .. . ..
. .. .
4π
✲ x
Veenduge, et Lause 2 eeldused on täidetud. Kuna
√ (dx ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dy dz
+ + =
dt dt dt
=
siis valemi (3.9.8) abil saame
∫
Γ
√
(cos t − t sin t) 2 + (sin t + t cos t) 2 + 1 2 = √ 2 + t 2 ,
(2z − √ x 2 + y 2 )
ds =
=
4π ∫
0
t √ 2 + t 2 dt = 1 2
4π ∫
0
4π ∫
0
(
2t − √ t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t) √2
+ t2 dt =
√
2 + t2 d ( 2 + t 2) = 1 ∣ ∣∣∣
4π
√(2 + t
3
2 ) 3 =
0
= 2 + 16π2 √
2 + 16π2 − 2 √
2.
3
3
♦
3.10 Teist liiki joonintegraal
Kasutame eelmise punkti tähistust. Skalaarväärtustega funktsiooni f(P )
asemel vaatleme tükiti sileda joone Γ (joone AB) punktides vektorväärtustega
funktsiooni
F = (X (x, y, z) , Y (x, y, z) , Z (x, y, z)) ,
lühidalt F (P ) = (X (P ) , Y (P ) , Z (P )) ehk F = (X, Y, Z) . Olgu
r = (x, y, z) , ∆r i = (∆x i , ∆y i , ∆z i ) , dr = (dx, dy, dz) .
Füüsikast on teada, et masspunkti liikumisel piki joont Γ, mille igas punktis P
m~ojub talle j~oud F(P ), esitab F(Q i )∆r i ligikaudu töö, mis tehakse masspunkti
nihutamisel piki kaart P i−1 P i . Moodustame integraalsumma
n∑
F(Q i )∆r i =
i=1
n∑
X (Q i ) ∆x i + Y (Q i ) ∆y i + Z (Q i ) ∆z i , (3.10.1)
i=1