MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.11. ORTOGONAALSED POLÜNOOMID 119
Järgmisena leiame valemi (2.11.7) abil polünoomid P 2 (x) ja P 3 (x) :
〈
Q 2 (x) = x 2 − x 2 ,
= x 2 − √ 1 ∫1
2
−1
〉
1
√ · 2
〈
1
√ − x 2 , 1 〉
2 2 x√ 6 · 1
2 x√ 6 =
x 2 dx
√ − 1 ∫ 1
2 2 x√ 6
−1
= x 2 − 1 3 ,
∫ 1 (
‖Q 2 (x)‖ = √ x 2 − 1 ) 2
dx = 2 √
10,
3 15
P 2 (x) =
−1
1
2 x3√ 6dx =
(
x 2 − 1 ) ( ) 2
/ 10 =
3 15√ 1 (
3x 2 − 1 ) √ 10;
4
〈 〉 〈
Q 3 (x) = x 3 − x 3 1 1
, √ √2 − x 3 , 1 1
6〉
2 2 x√ 2 x√ 6−
〈
− x 3 , 1 (
3x 2 − 1 ) √ 〉 1 (
10 3x 2 − 1 ) √ 10 =
4
4
− 3 4
= x 3 − 1 √
2
∫ 1
−1
x 3 dx
√ − x√ ∫
6 1
2 2 −1
x 4√ 6
dx−
2
(
x 2 − 1 ) √10
∫ 1
3x 3 (
x 2 − 1 √10dx
= x
3
−1 4 3) 3 − 3 5 x,
‖Q 3 (x)‖ =
P 3 (x) =
√ ∫ 1
−1
(
x 3 − 3 ) 2
5 x dx = 2
35
(x 3 − 3 5 x )
/
( 2
35√
14
)
√
14,
= 5√ 14
4
(x 3 − 3 5 x )
.
Analoogiliselt saab leida järgmised polünoomid P k (x) (k ≥ 4) .
Legendre’i ortonormaalsed polünoomid P n (x) (n ∈ N 0 ) avalduvad Rodrigues’i
valemi abil
( d
n (
P n (x) = x 2
dx n − 1 ) )
n
/
d n (
∥ x 2
dx n − 1 ) n
∥ . (2.11.8)
Veenduge, et Rodrigues’i valem kehtib n = 0; 1; 2; 3 korral.
♦