MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.9. TAYLORI RIDA 105
Et
(∣ ∣−3x 2 /2 ∣ ( √
) 2 < 1 ⇔ |x| < ,
3)
siis
ln(2 − 3x 2 ) = ln 2 −
∞∑
( k 3 x
2) 2k
k=1
k
(
R =
√
2
3)
. ♦
x
Näide 4. Arendame funktsiooni 3√ Maclaurini ritta.
3 − x
3
Teisendame
x
3√ = x ) −1/3 (1 √
3 − x
3 3
3 · − x3
.
3
) −1/3
Rakendame Lauset 2, kusjuures funktsiooni
(1 − x3
arendamisel Maclaurini
ritta kasutame valemit (2.9.14), asendades selles suuruse x suurusega −x 3 /3
3
:
) −1/3 (1 − x3
= 1 +
3
= 1 +
= 1 +
∞∑ (−1/3) (−1/3 − 1) · · · (−1/3 − k + 1)
k!
k=1
(
∞∑ − 1 ) (
− 4 ) (
· · · − 3k − 2 )
3 3
3
k!
k=1
∞∑
k=1
(−1) 2k (3k − 2)!!!
3 2k x 3k .
k!
Et (∣ ∣ −x 3 /3 ∣ < 1 ) (
⇔ |x| < 3√ )
3 ,
siis soovitud Maclaurini reaksarenduse
x
3√ = x ) −1/3 (1 √
3 − x
3 3
3 · − x3
=
3
(
)
= √ x ∞∑
3
3 · (3k − 2)!!!
1 +
3 2k x 3k =
k!
= x 3 √ 3 + ∞
∑
k=1
k=1
(3k − 2)!!!
3 2k+1/3 k! x3k+1
) k (− x3
=
3
) k (− x3
=
3
koonduvusraadius on 3√ 3.
♦