MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.6. LEIBNIZI TUNNUS 87
1) juhul r > 1 on uuritav rida koonduv,
2) juhul r < 1 on uuritav rida hajuv.
Näide 3. Uurime Raabe tunnuse abil rea ∑ ( ) p
∞ (2n − 1)!!
k=1
koonduvust.
(2n)!!
Tegemist on positiivse arvreaga. Kuna
(
lim k 1 − a ) ( ( ) p ( ) p )
k+1
(2k + 1)!! (2k − 1)!!
= lim
k→∞ a k 1 −
/
=
k k→∞ (2k + 2)!! (2k)!!
(
= lim k 1 −
k→∞
( ) p ) (
2k + 1
= lim
2k + 2
k 1 −
k→∞
( ) p )
(2k + 2) − 1
=
2k + 2
( (
= lim k 1 − 1 − 1 ) p )
= [(1 + x) α − 1 ∼ αx (x → 0)] =
k→∞ 2k + 2
kp
= lim
k→∞ 2k + 2 = p 2 ,
siis on uuritav rida juhul p > 1 ⇔ p > 2 Lause 2 p~ohjal koonduv.
2 ♦
2.6 Leibnizi tunnus
Definitsioon 1. Arvrida
∞∑
(−1) k a k , (2.6.1)
k=0
kus a k > 0 (k ∈ N 0 ) , nimetatakse vahelduvate märkidega reaks.
Lause 1 (Leibnizi tunnus). Kui vahelduvate märkidega rea (2.6.1) korral on
täidetud rea kooduvuse tarvilik tingimus ja jada {a k } on monotoonselt kahanev,
siis rida (2.6.1) on koonduv.
T~oestus. Uurime rea (2.6.1) esimese 2n + 1 liikme summat S 2n+1 . Et
S 2n+1 =
2n∑
k=0
(−1) k a k = a 0 − (a 1 − a 2 ) − (a 3 − a 4 ) − . . . − (a 2n−1 − a 2n ) ,
kus a 2k−1 − a 2k ≥ 0 (1 ≤ k ≤ n) , siis jada {S 2n+1 } on monotoonselt kahanev.
Et teisalt,
S 2n+1 = (a 0 − a 1 ) + (a 2 − a 3 ) + (a 4 − a 5 ) + . . . + (a 2n−2 − a 2n−1 ) + a 2n ,
kus a 2k − a 2k+1 ≥ 0 (0 ≤ k ≤ n − 1) , siis S 2n+1 ≥ 0. Seega on jada {S 2n+1 }
monotoonselt kahanev ja alt t~okestatud. Järelikult on jada {S 2n+1 } koonduv:
∃ lim
n→∞ S 2n+1 = S. (2.6.2)