MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

222 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
∫∫
I y =
∫∫
=
pr xyΣ
pr xyΣ
0
(
x 2 + ( x 2 + y 2)) ( x 2 + 2y 2 + ( x 2 + y 2)) √ 2dxdy =
(
2x 2 + y 2) ( 2x 2 + 3y 2) √ 2dxdy =
= √ ∫2π
(
2 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) ( 2 cos 2 ϕ + 3 sin 2 ϕ ) dϕ
∫∫
I z =
pr xyΣ
0
(
x 2 + y 2) ( x 2 + 2y 2 + ( x 2 + y 2)) √ 2dxdy =
= √ ∫2π
(
2 2 cos 2 ϕ + 3 sin 2 ϕ ) dϕ
∫∫
I O =
pr xyΣ
0
∫ 1
0
ρ 5 dρ = 5π√ 2
,
6
∫ 1
0
ρ 5 dρ = 29π√ 2
,
24
(
x 2 + y 2 + ( x 2 + y 2)) ( x 2 + 2y 2 + ( x 2 + y 2)) √ 2dxdy =
= 2 √ ∫2π
(
2 2 cos 2 ϕ + 3 sin 2 ϕ ) dϕ
∫ 1
0
ρ 5 dρ = 5π√ 2
. ♦
3
3.16 Ülesanded
1. Hinnake integraali ∫∫ D (2x + 3y + 4)dxdy, kui D: 4x2 + y 2 ≤ 9.
V: −17.1 π ≤ I ≤ 53.1 π.
Ülesannetes 2–5 arvutage kahekordne integraal üle piirkonna D
2. ∫∫ dxdy
D
(x + y + 1) 2 , D : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 . V: ln 4 3 .
3. ∫∫ ydxdy
D
(1 + x 2 + y 2 ) , D : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 . V: ln 2 + √ 2
3/2 1 + √ 3 .
4. ∫∫ x sin(x + y)dxdy, D : 0 ≤ x ≤ π ∧ 0 ≤ y ≤ π . V: −4.
D
5. ∫∫ D x2 y sin(xy 2 )dxdy, D : 0 ≤ x ≤ π/2 ∧ 0 ≤ y ≤ 3 . V: π2
16 − π 36 + 1
162 .
Ülesannetes 6–7 määrake rajad kahekordses integraalis ∫∫ f(x, y)dxdy antud
D
D korral:
6. D on rööpkülik külgedega y = −x, y = 9 − x, y = (x − 3) /2, y = (x + 6) /2.
V: ∫ 1
−2 dx ∫ (x+6)/2
f(x, y)dy+ ∫ 4
−x 1 dx ∫ (x+6)/2
(x−3)/2 f(x, y)dy+∫ 7
4 dx ∫ 9−x
f(x, y)dy.
(x−3)/2
7. D : y 2 ≤ x, y ≥ 2 − x, y ≥ x − 12 .
V: ∫ 4
0 dx ∫ √ x
2−x f(x, y)dy + ∫ 9
4 dx ∫ √ x
− √ x f(x, y)dy + ∫ 16
dx ∫ √ x
f(x, y)dy.
9 x−12
Ülesannetes 8–13 muutke integreerimise järjekorda:
8. ∫ 1
0 dx ∫ x
f(x, y)dy. V: ∫ 1
x 2 0 dy ∫ √ y
f(x, y)dx.
y
9. ∫ r
0 dy ∫ y
√ f(x, y)dx. V: ∫ r
r− r 2 −y 2 0 dx ∫ √ 2rx−x 2
f(x, y)dy .
x